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比特幣背后的諾貝爾獎(jiǎng)：投票悖論和阿羅不可能定理

2024-11-05 22:59:21 | 來(lái)源： | 作者：佚名
阿羅不可能定理揭示了集體決策中的基本悖論，即在滿足合理?xiàng)l件的情況下，無(wú)法設(shè)計(jì)出一種完美的社會(huì)選擇規(guī)則,它告訴我們，任何集體決策機(jī)制都需要在公平性、一致性和合理性之間做出權(quán)衡取舍,更多詳細(xì)資訊請(qǐng)看下面正文

今天是美國(guó)大選日，昨晚內(nèi)參《11.4 教鏈內(nèi)參：美國(guó)大選，新錢對(duì)老錢，鹿死誰(shuí)手？》匯總了一些兩方面的信息。受「特朗普交易」退潮影響，隔夜 BTC 一度回踩至 30 日均線 66.9k 附近。

美國(guó)大選是一種投票式民主。但是，投票真的能實(shí)現(xiàn)民主嗎？很遺憾，并不能。即便是排除選票造假、非法投票等操作性問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上，可以證明，投票并不能實(shí)現(xiàn)民主。這正是 1972 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)肯尼斯·阿羅（Kenneth J. Arrow）的研究成果。

什么是民主？民主是一群人，采用一種制度的辦法，做出一項(xiàng)集體選擇或稱集體決策，而該項(xiàng)集體決策，能夠符合該群體中最大多數(shù)人的利益訴求。

可見，民主首先就是有邊界的。美國(guó)人的民主，只是為了符合美國(guó)人的利益。而它是否會(huì)損害地球上其他非美國(guó)人的利益呢？當(dāng)然有可能。

其次，民主的目的是為了做集體決策，或者說(shuō)做出一個(gè)具體的集體選擇。投票，是為了達(dá)到這個(gè)目的的一種手段和方法。

最后，民主的目標(biāo)是利益（而不是道德或其他什么東西），最終結(jié)果要有利于最大多數(shù)人的利益。

即便我們不考慮一群人集體做出的決策是否真的有利于多數(shù)人的利益，僅僅是在做出集體選擇這一步，阿羅就證明了，沒(méi)有一種投票制度的設(shè)計(jì)是能夠真正得到一個(gè)結(jié)果的。

在 1972 年阿羅在瑞典斯德哥爾摩諾貝爾獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)典禮所作報(bào)告《一般經(jīng)濟(jì)均衡：目的，分析技術(shù)，集體選擇》（General Ecnomic Equilibrium: Purpose, Analytic Techniques, Collective Choice) 的結(jié)尾，他引述了 18 世紀(jì)法國(guó)學(xué)者孔多塞提出的投票悖論來(lái)作為生動(dòng)的例子。

這個(gè)例子是這樣的：

有張三、李四、王五三個(gè)人，中午相約一起去吃午飯。他們的選項(xiàng)有三家：黃燜雞米飯，達(dá)美樂(lè)披薩，肯德基漢堡。

張三的偏好是：黃燜雞 > 披薩 > 漢堡

李四的偏好是：披薩 > 漢堡 > 黃燜雞

王五的偏好是：漢堡 > 黃燜雞 > 披薩

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)投票制度，可以讓他們?nèi)私M成的群體，通過(guò)民主投票的方法，選出一個(gè)最好的選項(xiàng)出來(lái)。

初中數(shù)學(xué)及格的人都能發(fā)現(xiàn)，這樣的民主投票制度是不存在的！

若投票結(jié)果是黃燜雞：只有張三一個(gè)人滿意。而李四和王五兩個(gè)人都覺得，選黃燜雞不如選漢堡！

若投票結(jié)果是披薩：只有李四一個(gè)人滿意。而張三和王五兩個(gè)人都覺得，選披薩不如選黃燜雞！

若投票結(jié)果是漢堡：只有王五一個(gè)人滿意。而張三和李四兩個(gè)人都覺得，選漢堡不如選披薩！

可見，即使是在這樣一個(gè)如此簡(jiǎn)單的系統(tǒng)中，民主都是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。無(wú)論怎么選，都是絕大多數(shù)人不滿意。

這還只是三個(gè)人選吃啥。如果是三億人選總統(tǒng)呢？難道就能有什么制度保證投票選舉一定可以達(dá)成真正的民主決策——即選出的總統(tǒng)有利于最大多數(shù)人的利益嗎？

更復(fù)雜的設(shè)計(jì)，只會(huì)掩蓋這個(gè)根本性的問(wèn)題，而絕對(duì)不能解決問(wèn)題。因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)和邏輯的問(wèn)題，不是通過(guò)制度設(shè)計(jì)可以解決的。

阿羅推廣并形式化了這一問(wèn)題，并進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，稱為阿羅不可能定理（Arrow's impossibility theorem）。

在民主決策和投票系統(tǒng)中，人們常常希望根據(jù)所有成員的個(gè)人偏好來(lái)做出集體決策。但阿羅不可能定理表明，任何嘗試匯總個(gè)人偏好以形成社會(huì)偏好的規(guī)則，都無(wú)法同時(shí)滿足以下五個(gè)看似合理的條件：

1. 非獨(dú) 裁性（Non-dictatorship）：沒(méi)有任何一個(gè)人能夠完全決定社會(huì)的偏好。也就是說(shuō)，社會(huì)偏好不應(yīng)該僅僅等于某個(gè)個(gè)人的偏好，集體決策應(yīng)反映多個(gè)成員的意見。

2. 一致性（Pareto Efficiency）：如果所有人都偏好 A 超過(guò) B，那么社會(huì)的偏好也應(yīng)反映出 A 優(yōu)于 B。這是集體決策的一種基本合理性要求。

3. 獨(dú)立于無(wú)關(guān)選項(xiàng)（Independence of Irrelevant Alternatives, IIA）：社會(huì)對(duì) A 和 B 的偏好關(guān)系只應(yīng)該取決于人們對(duì) A 和 B 的偏好，而不應(yīng)受其他選項(xiàng)的影響。這意味著加入一個(gè)無(wú)關(guān)選項(xiàng) C 不應(yīng)改變 A 和 B 的排序。

4. 集體理性（Transitivity）：如果社會(huì)偏好 A 優(yōu)于 B，且 B 優(yōu)于 C，那么社會(huì)偏好應(yīng)滿足 A 優(yōu)于 C。即集體偏好必須是一致的，不出現(xiàn)循環(huán)偏好。

5. 普遍領(lǐng)域（Unrestricted Domain）：所有可能的個(gè)人偏好組合都應(yīng)該被允許，即無(wú)論人們的偏好是怎樣的，規(guī)則都應(yīng)能適用。

阿羅證明了，在有三個(gè)或更多的候選項(xiàng)時(shí)，任何偏好匯總機(jī)制都不可能同時(shí)滿足上述五個(gè)條件。換句話說(shuō)，要么需要放棄其中某一個(gè)條件，要么需要接受一個(gè)不完美的決策系統(tǒng)（例如，接受一個(gè)「獨(dú) 裁者」來(lái)做決策，或者允許系統(tǒng)不滿足一致性等條件）。

阿羅不可能定理表明，在追求公平、合理和一致的集體決策時(shí)，存在無(wú)法避免的矛盾。這一定理對(duì)政治學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)選擇理論和投票制度設(shè)計(jì)等領(lǐng)域具有深遠(yuǎn)的影響。它揭示了民主決策的內(nèi)在局限性，即我們可能無(wú)法找到一種完全公平的決策機(jī)制來(lái)匯總個(gè)人偏好。

阿羅不可能定理揭示了集體決策中的基本悖論，即在滿足合理?xiàng)l件的情況下，無(wú)法設(shè)計(jì)出一種完美的社會(huì)選擇規(guī)則。它告訴我們，任何集體決策機(jī)制都需要在公平性、一致性和合理性之間做出權(quán)衡取舍。

在中本聰 2008 年公布的比特幣白皮書中，談到了多數(shù)決策的問(wèn)題。就是在第 4 小節(jié)「工作量證明」里。這段話是這么寫的：

「工作量證明還解決了在多數(shù)決策中確定代表制的問(wèn)題。如果基于一個(gè) IP 地址 一票制確定多數(shù)，那么該制度就有可能被任何有能力分配很多 IP 的人所顛覆。工作量證明本質(zhì)上是一個(gè) CPU 一票。多數(shù)決策由最長(zhǎng)鏈來(lái)代表，它有著最大的投入其中的工作量證明。如果多數(shù) CPU 算力被誠(chéng)實(shí)節(jié)點(diǎn)所控制，誠(chéng)實(shí)鏈就會(huì)以最快的速度增長(zhǎng)并超過(guò)任何競(jìng)爭(zhēng)鏈。要修改一個(gè)過(guò)去的區(qū)塊，攻擊者將不得不重做該區(qū)塊以及所有后續(xù)區(qū)塊的工作量證明，然后追上并超越誠(chéng)實(shí)節(jié)點(diǎn)的工作量。我們稍后會(huì)展示，隨著后繼區(qū)塊被添加，一個(gè)較慢的攻擊者追上的概率會(huì)以指數(shù)級(jí)衰減?！?/p>

中本聰在這里講的「一個(gè) CPU 一票」，其實(shí)是指一份算力一票。至于這一份算力究竟是多少算力呢，其實(shí)就是節(jié)點(diǎn)算力占整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的算力的比例。

分布式系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，其實(shí)也是一個(gè)集體選擇的問(wèn)題。只不過(guò)做出集體選擇的，是計(jì)算機(jī)自動(dòng)化地執(zhí)行其所有者的意志罷了。

傳統(tǒng)的解決方案都是邏輯投票，比如像什么 BFT（拜占庭容錯(cuò)算法）之類的。FLP 不可能定理已經(jīng)把這條路給堵死了。

中本聰徹底拋棄了這些已經(jīng)走入死胡同的老路。比特幣白皮書一個(gè)字兒都沒(méi)提那些傳統(tǒng)的分布式算法，也沒(méi)有引述任何相關(guān)的參考文獻(xiàn)，仿佛它們不存在一般。

在上面的白皮書第 4 小節(jié)里，中本聰指出，按「人頭」（IP 地址）投票的辦法，必然會(huì)遇到投假票的問(wèn)題。就像這次美國(guó)大選，沒(méi)有投票資格的留學(xué)生也輕易投了票。甚至很多人自曝過(guò)去曾經(jīng)用貓啊狗啊的名字都能投票。

這在分布式系統(tǒng)中有個(gè)術(shù)語(yǔ)叫做「女巫攻擊」（Sybil attack），即偽造身份攻擊。女巫，就是分身的比喻。

美國(guó)大選系統(tǒng)能抗女巫攻擊嗎？看起來(lái)是有漏洞的。

有人可能會(huì)說(shuō)，假冒投票收益極小，而可能觸及犯罪的損失極大，不會(huì)有人去干這種事的。但是，如果是參與競(jìng)爭(zhēng)的一方，有組織地去搞假票攻擊，那就是獲益極大的事了。

有人又說(shuō)，全美搞一套身份證系統(tǒng)，選票記名，是不是就可以解決這個(gè)問(wèn)題？但是，身份證和記名投票又會(huì)帶來(lái)其他妨害民主的問(wèn)題。況且，身份證的統(tǒng)一頒發(fā)和認(rèn)證，意味著又要引入一個(gè)中心化的權(quán)力部門。

對(duì)比特幣系統(tǒng)而言，要徹底地去中心化，也就不可能采用這樣中心化的解決方案。

中本聰換了一個(gè)思路，他讓大家用「工作量證明」來(lái)投票。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是誰(shuí)干的活多，誰(shuí)的話語(yǔ)權(quán)（投票權(quán)）就大。注意，不是誰(shuí)的幣多（錢多），誰(shuí)的話語(yǔ)權(quán)大。

和馬 克思恩 格斯說(shuō)的讓工人階級(jí)掌權(quán)異曲同工。讓最普遍的代表先進(jìn)生產(chǎn)力的群體掌握最大的權(quán)力。

為什么？因?yàn)槌謳庞脩綦S時(shí)可以割肉跑路。而礦工的礦機(jī)一旦部署，關(guān)機(jī)就成廢鐵。這也是為什么國(guó)家的基本盤是工農(nóng)勞動(dòng)群眾，而不是資本家的原因。

當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)社會(huì)中干活的多少因?yàn)榉止さ炔町惒灰诇y(cè)量和比較，但是對(duì)于比特幣系統(tǒng)就簡(jiǎn)單多了，都是一樣的哈希計(jì)算，很容易測(cè)量和比較。

按工作量證明投票這種生產(chǎn)力民主制，或者叫算力民主制，得到的結(jié)果是中本聰講的「最長(zhǎng)鏈」。

「在 2008 年 11 月 8 日的郵件中，中本聰寫道:『CPU 算力的工作量證明投票必須具有最終的發(fā)言權(quán)?！蛔屆總€(gè)人都相信最長(zhǎng)鏈 ( 累積算力最大的鏈 ) 是有效鏈，這 是建立全球共識(shí)的唯一方法。」——《比特幣史話》第十一章第 51 話「算力民主制」

可見，比特幣系統(tǒng)是「一黨制」——只有一條最長(zhǎng)鏈，而不是美國(guó)那樣的「兩黨制」——在兩條對(duì)等的鏈之間進(jìn)行選擇。否則就要出現(xiàn)「腦裂」。最長(zhǎng)鏈?zhǔn)窍到y(tǒng)的謝林點(diǎn)（Schelling Point，默認(rèn)共識(shí)，由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家托馬斯·謝林提出）。

任何一個(gè)向系統(tǒng)貢獻(xiàn)算力的節(jié)點(diǎn)都可以獲得提議新區(qū)塊、延長(zhǎng)最長(zhǎng)鏈的權(quán)利。對(duì)最長(zhǎng)鏈的延長(zhǎng)，其實(shí)也是對(duì)最長(zhǎng)鏈的認(rèn)可和確認(rèn)。

其他所有貢獻(xiàn)算力的節(jié)點(diǎn)，則可以通過(guò)驗(yàn)證和接納這個(gè)新區(qū)塊，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)被延長(zhǎng)了的最長(zhǎng)鏈的認(rèn)可。

只要超過(guò)半數(shù)的算力都認(rèn)可了被延長(zhǎng)的最長(zhǎng)鏈，這就是新的全局共識(shí)了。

在《比特幣史話》第十一章第 51 話「算力民主制」的最后，教鏈如此總結(jié)：

「礦工通過(guò)算力投票實(shí)現(xiàn)堅(jiān)持最長(zhǎng)鏈原則一百年不動(dòng)搖，但是礦工并不能篡改任何共識(shí)規(guī)則。共識(shí)規(guī)則由比特幣核心開源代碼定義，其修改權(quán)力掌握在開發(fā)團(tuán)隊(duì)手中，但是開發(fā)團(tuán)隊(duì)并不能為所欲為，隨意破壞共識(shí)規(guī)則，因?yàn)榈V工和用戶擁有推舉出新的開發(fā)團(tuán)隊(duì)分叉代碼 ( 復(fù)制一份開源代碼另行維護(hù) ) 的權(quán)利。而最終的決定性力量其實(shí)還是廣大持幣用戶，他們決定賣出哪個(gè)幣、買入哪個(gè)幣，就是在用腳投票。水可載舟，亦可覆舟。但是同時(shí)，持幣用戶是「烏合之眾」，他們只有來(lái)去隨意的消極自由，而沒(méi)有強(qiáng)迫開發(fā)團(tuán)隊(duì)修改規(guī)則的積極自由或權(quán)力。

「讓有自由的沒(méi)權(quán)力，有權(quán)力的沒(méi)自由。來(lái)去隨意，但誰(shuí)都不能為所欲為。這，就是比特幣的算力民主制。」

以上就是比特幣背后的諾貝爾獎(jiǎng)：投票悖論和阿羅不可能定理的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于最終結(jié)果要有利于最大多數(shù)人的利益的資料請(qǐng)關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

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