C++中線性代數(shù)計(jì)算Eigen庫(kù)的使用教程詳解
前言
Eigen是一個(gè)基于線性代數(shù)的C++模板庫(kù)，主要用于矩陣、向量、數(shù)值求解和相關(guān)算法。Eigen庫(kù)有如下特點(diǎn)：
- 支持整數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)、復(fù)數(shù)，使用模板編程，可以為特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)提供矩陣操作；
- Open-CV自帶Eigen的接口；
- 支持逐元素、分塊和整體的矩陣操作。
- 支持使用Intel MKL加速部分功能。
- 支持多線程，對(duì)稀疏矩陣支持良好。
- 支持常用幾何運(yùn)算，包括旋轉(zhuǎn)矩陣、矩陣變換等。
所以不論是做算法還是C++開發(fā)，使用好Eigen庫(kù)會(huì)讓你事半功倍。
由于本人是非專業(yè)的算法工程師，所以這里也只是做一些簡(jiǎn)單入門介紹和使用。
類型定義
Eigen庫(kù)中的核心類就是Matrix，它表示矩陣，是一個(gè)模板類，定義如下：
template<typename _Scalar, int _Rows, int _Cols, int _Options, int _MaxRows, int _MaxCols>
class Matrix {
}
其中前3個(gè)模板參數(shù)需要我們指定，后面3個(gè)參數(shù)使用默認(rèn)即可。
第一個(gè)參數(shù)typename _Scalar，表示該參數(shù)是一個(gè)數(shù)據(jù)類型，而不是像_Rows和_Cols這樣的變量。那么現(xiàn)在比如我想定義一個(gè)4x4的float矩陣，就可以如下定義：
Matrix<float,4,4> matrix44f;
這樣定義雖然簡(jiǎn)單明了，但是有點(diǎn)長(zhǎng)，所以在Eigen庫(kù)中提供了很多開源直接使用的模板類，比如：
Matrix4f，表示4x4的float矩陣；Vector3f，表示列向量，長(zhǎng)度3的float向量；RowVector2i，表示行向量，長(zhǎng)度2的int向量；
所以對(duì)于一些常見矩陣可以使用內(nèi)置的模板類。
除了定義已知大小的矩陣，Eigen庫(kù)還可以定義動(dòng)態(tài)矩陣。那什么是動(dòng)態(tài)矩陣和靜態(tài)矩陣呢？
靜態(tài)矩陣就是編譯時(shí)候就知道大小的矩陣，比如Matrix3d，在編譯時(shí)我們就知道這是一個(gè)3x3的double類型矩陣。
與之對(duì)應(yīng)的是動(dòng)態(tài)矩陣，這種矩陣需要在運(yùn)行后才知道大小，比如需要從vector<vector<double>>數(shù)據(jù)類型中構(gòu)建矩陣，只有當(dāng)代碼運(yùn)行時(shí)才可以知道構(gòu)建的矩陣的行列個(gè)數(shù)。這時(shí)可以使用MatrixXd來表示任意大小的元素類型為double的矩陣變量，其中X就表示未知大小，即Dynamic動(dòng)態(tài)的意思。
對(duì)于矩陣類型后面的后綴表示元素類型，Eigen庫(kù)定義了4種元素類型：
- d：表示
double類型； - f：表示
float類型； - i：表示整數(shù)；
- c：表示復(fù)數(shù)；
比如Matrix2c，表示一個(gè)2x2元素類型為復(fù)數(shù)的矩陣。
新建矩陣
對(duì)于默認(rèn)構(gòu)造函數(shù)的矩陣，分配了大小和內(nèi)存空間，但是沒有初始化矩陣元素。而對(duì)于基本數(shù)據(jù)類型，默認(rèn)初始化的話，其值是隨機(jī)的，不能使用。比如下面代碼：
Eigen::Matrix2f m;
std::cout << "m:" << std::endl << m << std::endl;
Eigen::Vector4i n;
std::cout << "n:" << std::endl << n << std::endl;
?
//運(yùn)行結(jié)果：
m:
5.88604e-039 0
9.18341e-041 2.8026e-045
n:
-517829874
-2
1952350234
4199631
在Eigen中重載了std::cout的<<運(yùn)算符，所以可以直接使用std::cout打印矩陣結(jié)果。所以定義完矩陣后，我們必須要對(duì)進(jìn)行初始化。對(duì)于矩陣的初始化，有如下幾種方式： 0. 直接賦值，可以使用<<進(jìn)行賦值。
Eigen::Matrix2f m; //2x2的float矩陣
m << 1.9,2.884, //進(jìn)行初始化，期望是4個(gè)值
4.33,5.898;
std::cout << "m:" << std::endl << m << std::endl;
?
Eigen::Vector4i n; //長(zhǎng)度為4的列向量
n << 3,4,2,6;
std::cout << "n:" << std::endl << n << std::endl;
?
//運(yùn)行結(jié)果：
m:
1.9 2.884
4.33 5.898
n:
3
4
2
6
這種方式只適合于矩陣的大小固定的情況，這種初始化方式很像使用列表初始化的數(shù)組，只有知道矩陣的大小，其構(gòu)造函數(shù)才能從左向右、從上向下來進(jìn)行初始化。比如可以定義動(dòng)態(tài)大小的矩陣MatrixXd，這時(shí)就無法使用<<進(jìn)行直接賦值，比如：
Eigen::MatrixXi xi; //動(dòng)態(tài)大小的int矩陣
xi << 1,2,3,4,5,6;
std::cout << "xi:" << std::endl << xi << std::endl;
因?yàn)檫@種定義的變量xi，并不知道其行列數(shù)目，可能是3x2、2x3等等，所以用6個(gè)int去賦值，構(gòu)造函數(shù)無法進(jìn)行構(gòu)造。
對(duì)于向量，可以在構(gòu)造的時(shí)候進(jìn)行初始化。
Eigen::RowVector3d k(1,2,3); //長(zhǎng)度為3，類型為double的行向量
std::cout << "k:" << std::endl << k << std::endl;
一些特殊函數(shù)，比如全部初始化為0，初始化為1，隨機(jī)數(shù)等。
Eigen::MatrixXi zero = MatrixXi::Zero(3,4); //全部初始化為0的矩陣 std::cout << "------ zero ------" << std::endl << zero << std::endl; Eigen::MatrixXi one = MatrixXi::Ones(4,4); //全部初始化為1的矩陣 std::cout << "------ one ------" << std::endl << one << std::endl; Eigen::MatrixXi i = MatrixXi::Identity(3,3); //單位矩陣 std::cout << "------ i ------" << std::endl << i << std::endl; Eigen::Matrix4f random = Matrix4f::Random(); //隨機(jī)矩陣 std::cout << "------ random ------" << std::endl << random << std::endl;
運(yùn)行結(jié)果：
------ zero ------
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
------ one ------
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
------ i ------
1 0 0
0 1 0
0 0 1
------ random ------
-0.997497 0.170019 0.64568 0.421003
0.127171 -0.0402539 0.49321 0.0270699
-0.613392 -0.299417 -0.651784 -0.39201
0.617481 0.791925 0.717887 -0.970031
使用Eigen::Map將已有的內(nèi)存塊數(shù)據(jù)映射到矩陣，必須要指定需要映射的矩陣類型，是MatrixXd、VectorXd等等，在模板參數(shù)中指明。
看一下Eigen::Map函數(shù)的定義：
template< e> class Map
: public MapBase<Map<PlainObjectType, MapOptions, StrideType> >
{
?
}
PlanObjectType：映射數(shù)據(jù)的等效矩陣類型。MapOptions：指定指針對(duì)齊方式，以字節(jié)為單位，默認(rèn)為Unaligned，即未對(duì)齊。StrideType：可選擇指定步幅。默認(rèn)情況下，Map采用內(nèi)存布局是一個(gè)普通的、連續(xù)的數(shù)組，可以通過指定步幅來定制化。
正常我們只需指明第一個(gè)參數(shù)即可，使用Map可以在無任何其他開銷的情況下，讓Eigen使用非Eigen數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來對(duì)其進(jìn)行初始化，包括多種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，比如原生數(shù)組，比如double[]、float[]等，以及STL容器，比如std::vector、std::array等。
std::vector<double> vec = {1,2,3,4,5,6}; //std::vector數(shù)據(jù)類型
Eigen::Map<Eigen::VectorXd> vd(vec.data(),6); //構(gòu)造成一個(gè)長(zhǎng)度為6的列向量
std::cout << "------ vd ------" << std::endl << vd << std::endl;
Eigen::Map<Eigen::MatrixXd> xd(vec.data(),3,2); //構(gòu)造成一個(gè)3x2的矩陣
std::cout << "------ xd ------" << std::endl << xd << std::endl;
//運(yùn)行結(jié)果：
------ vd ------
1
2
3
4
5
6
------ xd ------
1 4
2 5
3 6
在上面代碼中，我們使用vec.data()來獲取數(shù)vector中的數(shù)組數(shù)據(jù)，同時(shí)必須確定矩陣或者向量的大小。
對(duì)于矩陣來說，還有一種非常常見的初始化方式，就是一行一行或者一列一列進(jìn)行賦值。比如代碼：
Eigen::MatrixXd mat(3,2); //創(chuàng)建一個(gè)3x2的double類型矩陣 mat.col(0) << 1,2,3; //對(duì)第一列進(jìn)行初始化 mat.col(1) << 4,5,6; //對(duì)第二列進(jìn)行初始化
這種方式在構(gòu)建特殊矩陣時(shí)經(jīng)常用到。
矩陣索引
當(dāng)前矩陣的行數(shù)、列數(shù)和大小可以分別通過rows()、cols()和size()方法來獲取，在遍歷Eigen矩陣時(shí)最好獲取行數(shù)、列數(shù)來限制范圍。
同時(shí)索引下標(biāo)從0開始，矩陣元素的訪問可以通過matrix(i,j)來訪問第i行第j列的元素，對(duì)于向量還可以使用類似數(shù)組取值的vector[i]來訪問第i個(gè)元素。比如代碼：
std::vector<double> vec = {1,2,3,4,5,6};
Eigen::Map<Eigen::VectorXd> vd(vec.data(),6); //創(chuàng)建一個(gè)長(zhǎng)度為6的列向量
std::cout << "------ vd ------" << std::endl << vd << std::endl;
Eigen::Map<Eigen::MatrixXd> xd(vec.data(),3,2); //創(chuàng)建一個(gè)3x2的矩陣
std::cout << "------ xd ------" << std::endl << xd << std::endl;
?
for (int i = 0; i < xd.rows(); ++i) {
for (int j = 0; j < xd.cols(); ++j) {
std::cout << "xd.(" << i << "," << j << ")= " << xd(i,j) << std::endl;
}
}
?
//運(yùn)行結(jié)果：
------ xd ------
1 4
2 5
3 6
xd.(0,0)= 1
xd.(0,1)= 4
xd.(1,0)= 2
xd.(1,1)= 5
xd.(2,0)= 3
xd.(2,1)= 6
還可以利用block()函數(shù)來從Matrix中取出一個(gè)小矩陣來進(jìn)行處理，語法是matrix:block<p,q>(i,j)，表示從原矩陣的(i,j)位置開始，截取出pxq大小的子矩陣，比如測(cè)試代碼：
Eigen::MatrixXi randomI = MatrixXi::Random(6,6); //隨機(jī)值的6x6矩陣
std::cout << "------ randomI ------" << std::endl << randomI << std::endl;
Eigen::MatrixXi smallI = randomI.block<3,3>(1,1); //從(1,1)處截取一個(gè)3x3的矩陣
std::cout << "------ smallI ------" << std::endl << smallI << std::endl;
?
//運(yùn)行結(jié)果：
------ randomI ------
-13389 -12482 3334 -14515 12319 -1243
-4442 -16231 3511 3528 7427 -8673
-11557 -16092 -10937 9283 14938 11869
-10948 -4002 5342 9915 13949 -9516
16007 1037 -1613 651 1289 9163
-1780 2332 -4846 -6490 -11720 11260
------ smallI ------
-16231 3511 3528
-16092 -10937 9283
-4002 5342 9915
數(shù)學(xué)運(yùn)算
Eigen庫(kù)重載了常用加減乘運(yùn)算符，而對(duì)于矩陣的除法，我們一般是求逆然后再轉(zhuǎn)換為乘法，使用起來比較簡(jiǎn)單，就不過多介紹了。
還有幾個(gè)常用的方法，必須要介紹一下，因?yàn)樵陧?xiàng)目中非常常見。
- 矩陣轉(zhuǎn)置。調(diào)用
transpose()方法即可求出一個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。 - 矩陣求逆。調(diào)用
inverse()方法即可求出一個(gè)矩陣的逆矩陣。 - 共軛矩陣。調(diào)用
conjugate()方法可以求出共軛矩陣。
求解線性最小二乘方程組
此外，Eigen庫(kù)的最主要一個(gè)作用可以直接求解最小二乘方程組，對(duì)于方程組Ax=b，如果沒有確定解，可以找到一個(gè)向量x，使得其誤差平方值最小。
我們可以回顧一下在線性回歸中，如何解出最佳擬合系數(shù)\theta，一般都是先構(gòu)建范德蒙矩陣，然后根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算。但是在Eigen中，可以直接使用bdcSvd類的solve()方法直接求解出最小二乘方程組的系數(shù)。
比如下面代碼中使用2種方法解最小二乘方程組：
Eigen::MatrixXf X(4, 3); //創(chuàng)建4x3的矩陣，表示有3個(gè)系數(shù)待求解，一共4個(gè)方程
Eigen::Vector4f Y; //表示結(jié)果的長(zhǎng)度為4的列向量
X << 0, 0, 1,
1, 1, 1,
4, 2, 1,
9, 3, 1;
Y << 2, 0, 3, 7;
?
std::cout << "------ X ------" << std::endl << X << std::endl;
std::cout << "------ Y ------" << std::endl << Y << std::endl;
//使用bdcSvd方法
Eigen::MatrixXf abc = X.bdcSvd(Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV).solve(Y);
std::cout << "------ abc ------" << std::endl << abc << std::endl;
//使用公式法
Eigen::MatrixXf abc1 = (X.transpose() * X).inverse() * (X.transpose()) * Y;
std::cout << "------ abc1 ------" << std::endl << abc1 << std::endl;
?
//運(yùn)行結(jié)果：
------ X ------
0 0 1
1 1 1
4 2 1
9 3 1
------ Y ------
2
0
3
7
------ abc ------
1.5
-2.7
1.8
------ abc1 ------
1.5
-2.70001
1.8
到此這篇關(guān)于C++中線性代數(shù)計(jì)算Eigen庫(kù)的使用教程詳解的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C++ Eigen庫(kù)內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！
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