引言

繼續(xù)鞏固我的可視化學(xué)習(xí)，向量運(yùn)算是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ)，本例依舊是向量的一種應(yīng)用，利用向量判斷多邊形邊界，但是多邊形的邊界判斷稍微有點(diǎn)復(fù)雜，所以除了應(yīng)用向量之外，還需要借助三角剖分的相關(guān)工具。這個(gè)例子中可視化的展示采用Canvas2D來實(shí)現(xiàn)。

問題

假設(shè)Canvas畫布上存在一個(gè)如下多邊形：

我們移動(dòng)鼠標(biāo)的時(shí)候，想要實(shí)現(xiàn)一個(gè)效果，就是當(dāng)鼠標(biāo)移動(dòng)到多邊形內(nèi)部的時(shí)候，將多邊形內(nèi)部的填充顏色更新成其他顏色；所以此時(shí)我們需要判斷鼠標(biāo)是否在多邊形內(nèi)部，這就涉及到多邊形邊界的判斷。

思路

首先我們先將這個(gè)多邊形繪制到Canvas畫布上。

<canvas width="512" height="512"></canvas>

canvas {
  width: 512px;
  height: 512px;
  border: 1px solid #eee;
}

const canvas = document.querySelector('canvas');
const ctx = canvas.getContext('2d');
ctx.translate(canvas.width / 2, canvas.height / 2);
ctx.scale(1, -1);
const vertices = [
    [ -179.2, 128 ],
    [ -102.4, 76.8 ],
    [ -64, 181.76 ],
    [ -25.6, 143.36 ],
    [ -25.6, 33.28 ],
    [ 102.4, 53.76 ],
    [ 0, -153.6 ],
    [ -76.8, -76.8 ],
    [ -153.6, -76.8 ],
    [ -115.2, 0 ]
];
drawPolygon(vertices);
function drawPolygon(vertices, fillStyle = "red") {
  ctx.beginPath();
  ctx.moveTo(...vertices[0]);
  for (let i = 1; i < vertices.length; i ++) {
      ctx.lineTo(...vertices[i]);
  }
  ctx.closePath();
  ctx.fillStyle = fillStyle;
  ctx.fill();
}

1. 調(diào)用API

對(duì)于Canvas2D而言，有一個(gè)API自帶的方法，就是CanvasRenderingContext2D的isPointInPath方法。

這個(gè)方法使用起來非常簡(jiǎn)單，我們?cè)谶@個(gè)時(shí)候直接增加一個(gè)鼠標(biāo)移動(dòng)事件的監(jiān)聽就可以。

const {left, top} = canvas.getBoundingClientRect();
canvas.addEventListener('mousemove', e => {
  const {x: pageX, y: pageY} = e;
  // 坐標(biāo)轉(zhuǎn)化
  const offsetX = x - left;
  const offsetY = y - top;
  // 清除畫布
  ctx.clearRect(-256, -256, 512, 512);
  if (ctx.isPointInPath(offsetX, offsetY)) {
    drawPolygon(vetices, "green");
  } else {
    drawPolygon(vetices);
  }
});

但是這個(gè)API的使用存在很大的局限性，就是它只能針對(duì)當(dāng)前繪制的圖形生效。

就比如說，如果在完成這個(gè)多邊形的繪制之后，又繪制了一個(gè)小三角形。

const triangle = [
  [100, 100], 
  [100, 200], 
  [150, 200]
];
drawPolygon(triangle, "blue");

為了保持這個(gè)小三角形，我們還需要修改鼠標(biāo)監(jiān)聽事件，以達(dá)到更新畫布時(shí)，三角形依舊被繪制。

canvas.addEventListener('mousemove', e => {
  const {pageX: x, pageY: y} = e;
  // 坐標(biāo)轉(zhuǎn)化
  const offsetX = x - left;
  const offsetY = y - top;
  // 清除畫布
  ctx.clearRect(-256, -256, 512, 512);
  if (ctx.isPointInPath(offsetX, offsetY)) {
    drawPolygon(vertices, "green");
    drawPolygon(triangle, "blue");
  } else {
    drawPolygon(vertices);
    drawPolygon(triangle, "blue");
  }
});

此時(shí)我們?cè)僖苿?dòng)鼠標(biāo)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在鼠標(biāo)移動(dòng)到多邊形內(nèi)部時(shí)，多邊形的填充顏色并不會(huì)變，但是當(dāng)鼠標(biāo)移動(dòng)到小三角形內(nèi)部時(shí)，多邊形的填充色發(fā)生了變化；這就是Canvas2D Context的isPointInPath方法所存在的局限性。

2. 自定義isPointInPath

為了突破Canvas2D API中自帶方法的局限性，最簡(jiǎn)單的方法就是，我們手動(dòng)自定義一個(gè)自己的isPointInPath方法。

具體實(shí)現(xiàn)如下：

function isPointInPath(x, y) {
  // 根據(jù)ctx重新clone一個(gè)新的Canvas對(duì)象
  const cloned =  ctx.canvas.cloneNode().getContext('2d');
  cloned.translate(canvas.width / 2, canvas.height / 2);
  cloned.scale(1, -1);
  let ret = false;
  // 繪制多邊形，判斷點(diǎn)是否在圖形內(nèi)部
  drawPolygon(cloned, vertices, "red");
  ret |= cloned.isPointInPath(x, y);
  if (!ret) {
    // 如果不在，繼續(xù)繪制小三角形，判斷點(diǎn)是否在圖形內(nèi)部
    drawPolygon(cloned, triangle, "blue");
    ret |= cloned.isPointInPath(x, y);
  }
  return ret;
}

• 首先，根據(jù)原畫布的Context創(chuàng)建一個(gè)新的Canvas對(duì)象并獲取它的上下文
• 然后繪制多邊形，并判斷鼠標(biāo)是否在多邊形內(nèi)部
• 如果不在多邊形內(nèi)部，繼續(xù)判斷是否在三角形內(nèi)部
• 最后將結(jié)果返回

可以看到，在這個(gè)自定義的方法內(nèi)部，我們依然是調(diào)用了Canvas2D Context的isPointInPath方法。

接著我們還需要修改鼠標(biāo)的監(jiān)聽事件，把判斷方法改為我們自定義的isPointInPath。

此時(shí)移動(dòng)鼠標(biāo)，可以看到，當(dāng)鼠標(biāo)移動(dòng)到多邊形或者三角形內(nèi)部，都可以使多邊形的填充色發(fā)生變化；這就是因?yàn)槲覀冊(cè)谧远x的isPointInPath中做的兩次判斷。

但是我們也能發(fā)現(xiàn)，雖然這種方式解決了我們?cè)诘谝环N方式中所碰到的問題，卻也存在其他問題，第一，是增加了很多無謂的Canvas繪圖操作；第二，是通用性差，如果圖形有修改，那么isPointInPath方法就要跟著修改，并且這個(gè)方法依賴于Canvas2D的API，如果哪天修改了繪圖方式，比如改為使用WebGL，就不能使用了。

3. 通用型isPointInPath

所以我們需要實(shí)現(xiàn)一個(gè)更具通用性的isPointInPath方法：直接通過點(diǎn)與幾何圖形的數(shù)學(xué)關(guān)系來判斷點(diǎn)是否在圖形內(nèi)，也就是我們標(biāo)題中所說的利用向量來判斷。

但是直接判斷點(diǎn)與幾何圖形的關(guān)系，還是比較困難的。這個(gè)時(shí)候，我們可以先對(duì)多邊形進(jìn)行三角剖分，三角剖分可以簡(jiǎn)單地理解為是把多邊形表示成由多個(gè)三角形組合而成的形式；接著將點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的多個(gè)三角形的關(guān)系進(jìn)行逐一判斷；最后得出結(jié)果。

對(duì)于三角剖分，涉及的算法稍復(fù)雜，這里我們直接使用一個(gè)成熟的、使用起來比較簡(jiǎn)單的庫——earcut；然后就剩下最關(guān)鍵的一步，就是點(diǎn)和三角形的位置判斷。

判斷點(diǎn)是否在三角形內(nèi)部，就相對(duì)比較簡(jiǎn)單了：

假設(shè)三角形的三個(gè)點(diǎn)是A、B、C，把三角形的三條邊分別使用向量表示，再將平面上一個(gè)點(diǎn)D連接三角形三個(gè)頂點(diǎn)得到三個(gè)向量，那么點(diǎn)D在三角形內(nèi)部的充分必要條件就是：

AB x AD、BC x BD、CA x CD三組向量的叉乘結(jié)果符號(hào)相同。就如下圖所示。

• 如果點(diǎn)在三角形內(nèi)部，就如圖上的點(diǎn)D，可以看出AB 到 AD、BC 到 BD、CA 到 CD的旋轉(zhuǎn)方向都是逆時(shí)針，旋轉(zhuǎn)方向相同，所以最后的叉乘結(jié)果符號(hào)都是相同的；
• 而如果點(diǎn)在三角形外部，就如圖上的點(diǎn)D'，可以看出AB到AD'和CA到CD'的旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針，但BC到BD'的旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，所以三組向量叉乘的結(jié)果符號(hào)并不相同

因此根據(jù)上述條件，就可以定義一個(gè)簡(jiǎn)單的判定函數(shù)：

function inTriangle(p1, p2, p3, point) {
    const a = p2.copy().minus(p1);
    const b = p3.copy().minus(p2);
    const c = p1.copy().minus(p3);

    const u1 = point.copy().minus(p1);
    const u2 = point.copy().minus(p2);
    const u3 = point.copy().minus(p3);

    const s1 = Math.sign(a.cross(u1));
    const s2 = Math.sign(b.cross(u2));
    const s3 = Math.sign(c.cross(u3));

    return s1 === s2 && s2 === s3;
}

這個(gè)函數(shù)的前三個(gè)參數(shù)是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，最后一個(gè)參數(shù)是待判斷的點(diǎn)；這樣就能判斷點(diǎn)是否在三角形內(nèi)部了。

但是這個(gè)函數(shù)中還缺少一種特殊情況的判斷，就是點(diǎn)恰好在三角形某條邊上的情況。

如果一個(gè)點(diǎn)在三角形的一條邊上，那它需要滿足以下2個(gè)條件：

第一，它和所在邊某個(gè)頂點(diǎn)形成的向量與這個(gè)頂點(diǎn)所在邊的向量，這兩個(gè)向量的叉乘結(jié)果為0，即這兩個(gè)向量的夾角為180度或0度。比如點(diǎn)D在邊AB上，則AB x AD為0

第二，它和這個(gè)頂點(diǎn)形成的向量與這個(gè)頂點(diǎn)所在邊的向量，這兩個(gè)向量的點(diǎn)乘結(jié)果除以邊長(zhǎng)的平方，結(jié)果大于等于0且小于等于1。比如點(diǎn)D在邊AB上，則0<= AB·AD/AB² <=1

這個(gè)值也就是AD在AB上的投影的長(zhǎng)度，與AB長(zhǎng)度的比值，大于零，說明兩個(gè)向量的夾角是0度，為同一方向，小于等于1，也就說明點(diǎn)D在線段AB上。

根據(jù)這兩個(gè)條件，我們可以對(duì)上面的判定函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化：

function inTriangle(p1, p2, p3, point) {
    const a = p2.copy().minus(p1);
    const b = p3.copy().minus(p2);
    const c = p1.copy().minus(p3);
    const u1 = point.copy().minus(p1);
    const u2 = point.copy().minus(p2);
    const u3 = point.copy().minus(p3);
    const s1 = Math.sign(a.cross(u1));
    let p = a.dot(u1) / a.length ** 2;
    if (s1 === 0 && p >= 0 && p <= 1) return true;
    const s2 = Math.sign(b.cross(u2));
    p = b.dot(u2) / b.length ** 2;
    if (s2 === 0 && p >= 0 && p <= 1) return true;
    const s3 = Math.sign(c.cross(u3));
    p = c.dot(u3) / c.length ** 2;
    if(s3 === 0 && p >= 0 && p <= 1) return true;
    return s1 === s2 && s2 === s3;
}

這樣我們就可以使用inTriangle函數(shù)對(duì)某個(gè)點(diǎn)是否在三角形內(nèi)部進(jìn)行判斷了。

現(xiàn)在我們來繼續(xù)完成對(duì)點(diǎn)在多邊形內(nèi)部的判斷：

首先使用earcut庫對(duì)多邊形進(jìn)行三角剖分處理

引入earcut庫

<script src="https://unpkg.com/earcut@2.2.4/dist/earcut.dev.js"></script>

因?yàn)閑arcut庫只接受扁平化的頂點(diǎn)數(shù)據(jù)，我們需要先用數(shù)組的flat方法將頂點(diǎn)扁平化

const points = vertices.flat();

然后我們就可以把扁平化后的數(shù)據(jù)傳給earcut進(jìn)行處理了

const triangles = earcut(points);
console.log(triangles);

根據(jù)打印結(jié)果，可以看到earcut的處理結(jié)果是一個(gè)數(shù)組，這個(gè)triangles數(shù)組的元素是頂點(diǎn)數(shù)據(jù)在vertices數(shù)組中的下標(biāo)；在這個(gè)數(shù)組中，每三個(gè)元素所對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)就構(gòu)成一個(gè)三角形。

這樣我們就完成了多邊形的三角剖分。

接著逐個(gè)判斷點(diǎn)是否在每個(gè)三角形內(nèi)部。

// 判斷點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部
// 將多邊形進(jìn)行三角剖分，然后判斷點(diǎn)是否在其中某個(gè)三角形內(nèi)部
function isPointInPolygon({vertices, cells}, point) {
    let ret = false;
    for(let i = 0; i < cells.length; i += 3) {
        const p1 = new Vector2D(...vertices[cells[i]]);
        const p2 = new Vector2D(...vertices[cells[i + 1]]);
        const p3 = new Vector2D(...vertices[cells[i + 2]]);
        if (inTriangle(p1, p2, p3, point)) {
            ret = true;
            break;
        }
    }
    return ret;
}

根據(jù)返回的布爾值就可以知道點(diǎn)是否在多邊形內(nèi)部。

最后就是修改鼠標(biāo)監(jiān)聽事件的處理程序。

const {left, top} = canvas.getBoundingClientRect();
canvas.addEventListener('mousemove', e => {
  const {pageX: x, pageY: y} = e;
  // 坐標(biāo)轉(zhuǎn)化
  const offsetX = x - left;
  const offsetY = y - top;
  ctx.clearRect(-256, -256, 512, 512);

  const point = new Vector2D((offsetX - canvas.width / 2), (canvas.height / 2 - offsetY)); // 因?yàn)镃anvas經(jīng)過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，所以這里需要把頁面上點(diǎn)的坐標(biāo)也轉(zhuǎn)換一遍，才能正常判斷
  if (isPointInPolygon({
        vertices,
        cells: triangles
      }, point)
  ) {
    drawPolygon(vertices, "green");
    drawPolygon(triangle, "blue");
  } else {
    drawPolygon(vertices);
    drawPolygon(triangle, "blue");
  }
});

這里需要注意，Canvas2D自帶的API在進(jìn)行判斷時(shí)，應(yīng)該是自動(dòng)對(duì)鼠標(biāo)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行了轉(zhuǎn)換，所以我們使用自定義的方法時(shí)，不能直接使用offsetX和offsetY，需要自己去將點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換計(jì)算出對(duì)應(yīng)在畫布上的坐標(biāo)。

此時(shí)，我們?cè)偃ヒ苿?dòng)鼠標(biāo)，就可以看到，當(dāng)鼠標(biāo)移動(dòng)到多邊形內(nèi)部或者多邊形的邊時(shí)，多邊形的填充色發(fā)生了改變，也就說明我們的判斷生效了；這就成功應(yīng)用了向量來判斷多邊形邊界。

以上就是前端JS可視化學(xué)習(xí)利用向量判斷多邊形邊界的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于前端JS可視化學(xué)的資料請(qǐng)關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

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