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C語言求Fibonacci斐波那契數(shù)列通項(xiàng)問題的解法總結(jié)

 更新時(shí)間：2016年06月03日 18:57:37   作者：Hackbuteer1  
斐波那契數(shù)列相關(guān)問題是考研和ACM中常見的算法題目,這里特地為大家整理了C語言求Fibonacci斐波那契數(shù)列通項(xiàng)問題的解法總結(jié),需要的朋友可以參考下

一：遞歸實(shí)現(xiàn)
 　　使用公式f[n]=f[n-1]+f[n-2]，依次遞歸計(jì)算，遞歸結(jié)束條件是f[1]=1，f[2]=1。

二：數(shù)組實(shí)現(xiàn)
 　　空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度都是0(n)，效率一般，比遞歸來得快。

三：vector<int>實(shí)現(xiàn)
 　　時(shí)間復(fù)雜度是0(n)，時(shí)間復(fù)雜度是0(1)，就是不知道vector的效率高不高，當(dāng)然vector有自己的屬性會(huì)占用資源。

四：queue<int>實(shí)現(xiàn)
 　　當(dāng)然隊(duì)列比數(shù)組更適合實(shí)現(xiàn)斐波那契數(shù)列，時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度和vector<int>一樣，但隊(duì)列太適合這里了，
 　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)，f(n)只和f(n-1)和f(n-2)有關(guān)，f(n)入隊(duì)列后，f(n-2)就可以出隊(duì)列了。

五：迭代實(shí)現(xiàn)
 　　迭代實(shí)現(xiàn)是最高效的，時(shí)間復(fù)雜度是0(n)，空間復(fù)雜度是0(1)。

六：公式實(shí)現(xiàn)
百度的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)原來斐波那契數(shù)列有公式的，所以可以使用公式來計(jì)算的。

由于double類型的精度還不夠，所以程序算出來的結(jié)果會(huì)有誤差，如果把公式展開計(jì)算，得出的結(jié)果就是正確的。

完整的實(shí)現(xiàn)代碼如下：

#include "iostream" 
#include "queue" 
#include "cmath" 
using namespace std; 
 
int fib1(int index)   //遞歸實(shí)現(xiàn) 
{ 
  if(index<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
  if(index==1 || index==2) 
    return 1; 
  return fib1(index-1)+fib1(index-2); 
} 
int fib2(int index)   //數(shù)組實(shí)現(xiàn) 
{ 
  if(index<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
  if(index<3) 
  { 
    return 1; 
  } 
  int *a=new int[index]; 
  a[0]=a[1]=1; 
  for(int i=2;i<index;i++) 
    a[i]=a[i-1]+a[i-2]; 
  int m=a[index-1]; 
  delete a;     //釋放內(nèi)存空間 
  return m; 
} 
 
int fib3(int index)      //借用vector<int>實(shí)現(xiàn) 
{ 
  if(index<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
 
  vector<int> a(2,1);   //創(chuàng)建一個(gè)含有2個(gè)元素都為1的向量 
  a.reserve(3); 
  for(int i=2;i<index;i++) 
  { 
    a.insert(a.begin(),a.at(0)+a.at(1)); 
    a.pop_back(); 
  } 
  return a.at(0); 
}  
 
int fib4(int index)    //隊(duì)列實(shí)現(xiàn) 
{ 
  if(index<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
  queue<int>q; 
  q.push(1); 
  q.push(1); 
  for(int i=2;i<index;i++) 
  { 
    q.push(q.front()+q.back()); 
    q.pop(); 
  } 
  return q.back(); 
} 
int fib5(int n)     //迭代實(shí)現(xiàn) 
{ 
  int i,a=1,b=1,c=1; 
  if(n<1) 
  { 
    return -1; 
  } 
  for(i=2;i<n;i++) 
  { 
    c=a+b;   //輾轉(zhuǎn)相加法（類似于求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法） 
    a=b; 
    b=c; 
  } 
  return c; 
} 
int fib6(int n) 
{ 
  double gh5=sqrt((double)5); 
  return (pow((1+gh5),n)-pow((1-gh5),n))/(pow((double)2,n)*gh5); 
}  
 
int main(void) 
{ 
  printf("%d\n",fib3(6)); 
  system("pause"); 
  return 0; 
}

七：二分矩陣方法

201663185151250.gif (312×428)

如上圖，F(xiàn)ibonacci 數(shù)列中任何一項(xiàng)可以用矩陣冪算出，而n次冪是可以在logn的時(shí)間內(nèi)算出的。
下面貼出代碼：

void multiply(int c[2][2],int a[2][2],int b[2][2],int mod) 
{ 
  int tmp[4]; 
  tmp[0]=a[0][0]*b[0][0]+a[0][1]*b[1][0]; 
  tmp[1]=a[0][0]*b[0][1]+a[0][1]*b[1][1]; 
  tmp[2]=a[1][0]*b[0][0]+a[1][1]*b[1][0]; 
  tmp[3]=a[1][0]*b[0][1]+a[1][1]*b[1][1]; 
  c[0][0]=tmp[0]%mod; 
  c[0][1]=tmp[1]%mod; 
  c[1][0]=tmp[2]%mod; 
  c[1][1]=tmp[3]%mod; 
}//計(jì)算矩陣乘法，c=a*b 
 
int fibonacci(int n,int mod)//mod表示數(shù)字太大時(shí)需要模的數(shù) 
{ 
  if(n==0)return 0; 
  else if(n<=2)return 1;//這里表示第0項(xiàng)為0，第1，2項(xiàng)為1 
 
  int a[2][2]={{1,1},{1,0}}; 
  int result[2][2]={{1,0},{0,1}};//初始化為單位矩陣 
  int s; 
  n-=2; 
  while(n>0) 
  { 
    if(n%2 == 1) 
      multiply(result,result,a,mod); 
    multiply(a,a,a,mod); 
    n /= 2; 
  }//二分法求矩陣冪 
  s=(result[0][0]+result[0][1])%mod;//結(jié)果 
  return s; 
}

附帶的再貼上二分法計(jì)算a的n次方函數(shù)。

int pow(int a,int n) 
{ 
  int ans=1; 
  while(n) 
  { 
    if(n&1) 
      ans*=a; 
    a*=a; 
    n>>=1; 
  } 
  return ans; 
}

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