給定一個(gè)升序排列的自然數(shù)數(shù)組，數(shù)組中包含重復(fù)數(shù)字，例如：[1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7]。問題：給定任意自然數(shù)，對(duì)數(shù)組進(jìn)行二分查找，返回?cái)?shù)組正確的位置，給出函數(shù)實(shí)現(xiàn)。注：連續(xù)相同的數(shù)字，返回第一個(gè)匹配位置還是最后一個(gè)匹配位置，由函數(shù)傳入?yún)?shù)決定。

我為什么會(huì)出這道題目？

    二分查找在數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)核實(shí)現(xiàn)中非常重要

    在數(shù)據(jù)庫(kù)的內(nèi)核實(shí)現(xiàn)中，二分查找是一個(gè)非常重要的邏輯，幾乎99%以上的SQL語句(所有索引上的范圍掃描/等值查詢/Unique查詢等)，都會(huì)使用到二分查找進(jìn)行數(shù)據(jù)的定位。

    考慮一個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)表t1(a int primary key, b int)，表上的b字段有一個(gè)B+樹索引，表中記錄的b字段取值，就是題目中的[1,2,2,3,4,4,4,5,6,7,7]序列。此時(shí)，給定以下的兩條查詢語句，就是使用到了不同的二分查找邏輯：

    SQL1：  

 select * from t1 where b > 4;

    SQL2： 

select * from t1 where b >= 4;

    針對(duì)SQL1，索引的二分查找，就需要跳過所有的4，從最后一個(gè)4之后開始返回所有記錄；針對(duì)SQL2，二分查找就需要定位到第一個(gè)4，然后順序讀取所有記錄。

    除此之外，針對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)中其他的查詢邏輯，二分查找還需要附帶更多的功能，例如：

    SQL3： 

select * from t1 where b < 2;

    SQL4：

 select * from t1 where b <= 2;

    由于數(shù)據(jù)庫(kù)索引同時(shí)支持反向掃描，因此SQL3、SQL4的語句，都可以使用索引反向掃描。反向掃描時(shí)，SQL3需要定位到索引中的第一個(gè)2；而SQL4，則需要定位到索引的最后一個(gè)2，然后開始反向返回滿足查詢條件的索引記錄。
    二分查找在程序設(shè)計(jì)中，是一個(gè)十分基礎(chǔ)并且易錯(cuò)的功能

    第一個(gè)真正正確的二分查找算法，在第一個(gè)二分查找實(shí)現(xiàn)之后的12年，才被發(fā)表出來。通過Google，輸入Binary Search或者是二分查找關(guān)鍵字，有大量的相關(guān)的文章或者博客討論此話題。

二分查找實(shí)現(xiàn)，需要注意的問題

本文不準(zhǔn)備詳細(xì)介紹一個(gè)正確的二分查找應(yīng)該是如何實(shí)現(xiàn)的，畢竟現(xiàn)在網(wǎng)上有著大量的正確版本。接下來，根據(jù)批改試卷過程中發(fā)現(xiàn)的一些問題，做一些簡(jiǎn)單的分析，希望對(duì)大家實(shí)現(xiàn)一個(gè)有效的二分查找算法，甚至是一個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)可用的二分查找算法，有所幫助。
問題一：是否檢查參數(shù)的有效性

大量的試卷，在給出此問題的解決算法時(shí)，直接拿著low，high參數(shù)開始進(jìn)行計(jì)算，但是卻沒有檢查low/high參數(shù)。low/high是否相同，數(shù)組中是否存在記錄？low/high構(gòu)成的區(qū)間是否有效？代碼的魯棒性不足。

在數(shù)據(jù)庫(kù)的二分查找實(shí)現(xiàn)中，一般是對(duì)一個(gè)索引頁面進(jìn)行二分查找。索引頁面中有可能根本不存在用戶的記錄(索引頁面中的記錄全部被刪除，又沒有與兄弟頁面合并時(shí))，此時(shí)，low/high均為0，此時(shí)如果根據(jù)low/high計(jì)算出來的mid進(jìn)行記錄的讀取，就存在邏輯錯(cuò)誤。
問題二：二分查找中值的計(jì)算

這是一個(gè)經(jīng)典的話題，如何計(jì)算二分查找中的中值？試卷中，大家一般給出了兩種計(jì)算方法：

算法一： mid = (low + high) / 2

算法二： mid = low + (high – low)/2

乍看起來，算法一簡(jiǎn)潔，算法二提取之后，跟算法一沒有什么區(qū)別。但是實(shí)際上，區(qū)別是存在的。算法一的做法，在極端情況下，(low + high)存在著溢出的風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而得到錯(cuò)誤的mid結(jié)果，導(dǎo)致程序錯(cuò)誤。而算法二能夠保證計(jì)算出來的mid，一定大于low，小于high，不存在溢出的問題。

回到數(shù)據(jù)庫(kù)二分查找，數(shù)據(jù)庫(kù)的一個(gè)索引頁面(大小一般是8k或者是16k)，能夠存儲(chǔ)的索引記錄是有限的，因此肯定不會(huì)出現(xiàn)(low + high)溢出的風(fēng)險(xiǎn)。這也是為什么InnoDB中的中值，采用的就是算法一的實(shí)現(xiàn)。但是，作為一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某绦蛟O(shè)計(jì)人員，還是推薦使用算法二，將任何潛在的風(fēng)險(xiǎn)，扼殺于搖籃之中。
問題三：遞歸實(shí)現(xiàn)二分查找

超過一半的試卷，使用了遞歸調(diào)用的方式實(shí)現(xiàn)二分查找。不能說遞歸實(shí)現(xiàn)有錯(cuò)，而是在于實(shí)現(xiàn)效率問題。總所周知，遞歸調(diào)用存在著壓棧/出棧的開銷，其效率是比較低下的。而以數(shù)據(jù)庫(kù)這樣一個(gè)極端優(yōu)化代碼效率，提供快速查詢響應(yīng)的系統(tǒng)來說，效率是第一位的。不建議使用遞歸方式實(shí)現(xiàn)二分查找，至少在數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)核實(shí)現(xiàn)中是不允許使用的。據(jù)我所知，所有的開源數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)，例如：InnoDB，PostgreSQL都未采用遞歸方式實(shí)現(xiàn)二分查找。
問題四：如何查找第一個(gè)/最后一個(gè)等值

回到題目，要求根據(jù)傳入的參數(shù)不同，返回第一個(gè)/最后一個(gè)等值項(xiàng)。在本文的背景部分，我也解釋了此問題對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)庫(kù)查詢(>，>=查詢需求是不同的)。在試卷中，超過80%的同學(xué)的答案都是先進(jìn)行二分查找，待定位到相同值之后，再根據(jù)傳入的flag(用戶需求：flag = 1，返回第一個(gè)等值項(xiàng)；flag = 0，返回最后一個(gè)等值項(xiàng))，進(jìn)行順序遍歷，直至定位到滿足條件的項(xiàng)。

同樣，不能說這個(gè)實(shí)現(xiàn)是錯(cuò)的，但是也存在著性能問題。性能性能性能，永遠(yuǎn)是數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)核實(shí)現(xiàn)考慮的重點(diǎn)之一(相信也是所有應(yīng)用程序的一個(gè)指標(biāo))。數(shù)據(jù)庫(kù)中，除了主鍵索引/Unique索引能夠保證鍵值唯一之外，很多二級(jí)輔助索引都是存在相同鍵值的，有時(shí)相同鍵值的項(xiàng)會(huì)超過千項(xiàng)(考慮一個(gè)用戶的訂單，或者是購(gòu)買記錄)。

假設(shè)一個(gè)索引頁面，保存著400項(xiàng)記錄，均為相同鍵值。此時(shí)，使用先二分查找，后順序遍歷的算法，二分查找只能使用一次，順序遍歷199次，最終對(duì)比了200次。效率非常之低。當(dāng)然，我也欣喜的看到另外一小部分同學(xué)的做法(我期待看到的算法)，用flag來糾正每次比較的最終結(jié)果。例如：比較相等(相等用0表示，大于為1，小于為-1)，但是flag = 1，則返回糾正后的比較結(jié)果為1，需要移動(dòng)二分查找的high到mid，繼續(xù)二分(反之，若flag = 0，則返回糾正后的結(jié)果為-1，需要移動(dòng)二分查找的low到mid，繼續(xù)二分)。如此一來，等值仍舊可以進(jìn)行二分查找，最終的對(duì)比只需要9次，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于200次。

此問題，進(jìn)一步引出了下一個(gè)問題，數(shù)據(jù)庫(kù)中如何實(shí)現(xiàn)一個(gè)通用的，更為復(fù)雜的二分查找算法？
問題五：數(shù)據(jù)庫(kù)中的二分查找實(shí)現(xiàn)舉例

數(shù)據(jù)庫(kù)中的二分查找，更為復(fù)雜，需要實(shí)現(xiàn)一個(gè)通用型的二分查找算法，使用于各種不同的SQL查詢場(chǎng)景。

InnoDB針對(duì)不同的SQL語句，總結(jié)出四種不同的Search Mode，分別為：

#define    PAGE_CUR_G          1        >查詢

#define    PAGE_CUR_GE         2        >=，=查詢

#define    PAGE_CUR_L          3        <查詢

#define    PAGE_CUR_LE         4        <=查詢

然后根據(jù)這四種不同的Search Mode，在二分查找碰到相同鍵值時(shí)進(jìn)行調(diào)整。例如：若Search Mode為PAGE_CUR_G或者是PAGE_CUR_LE，則移動(dòng)low至mid，繼續(xù)進(jìn)行二分查找；若Search Mode為PAGE_CUR_GE或者是PAGE_CUR_L，則移動(dòng)high至mid，繼續(xù)進(jìn)行二分查找。

我們的TNT引擎，采用了與InnoDB不同的方案，但是也實(shí)現(xiàn)了相同的功能。TNT引擎針對(duì)相同鍵值的調(diào)整總結(jié)為下圖，在此我就不做解釋了，大家可以嘗試著自己進(jìn)行分析。

/* 操作符 includeKey     forward     compare result: 1    0        -1 */

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>=            1            1    |            1            -1        -1

=             1            1    |            1            -1        -1

>             0            1    |            1             1        -1

<             0            0    |            1            -1        -1

<=            1            0    |            1             1        -1

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