題目：二叉樹的結(jié)點定義如下：

輸入二叉樹中的兩個結(jié)點，輸出這兩個結(jié)點在數(shù)中最低的共同父結(jié)點。
分析：求數(shù)中兩個結(jié)點的最低共同結(jié)點是面試中經(jīng)常出現(xiàn)的一個問題。這個問題至少有兩個變種。
第一變種是二叉樹是一種特殊的二叉樹：查找二叉樹。也就是樹是排序過的，位于左子樹上的結(jié)點都比父結(jié)點小，而位于右子樹的結(jié)點都比父結(jié)點大。我們只需要從根結(jié)點開始和兩個結(jié)點進行比較。如果當前結(jié)點的值比兩個結(jié)點都大，則最低的共同父結(jié)點一定在當前結(jié)點的左子樹中。如果當前結(jié)點的值比兩個結(jié)點都小，則最低的共同父結(jié)點一定在當前結(jié)點的右子樹中。
第二個變種是樹不一定是二叉樹，每個結(jié)點都有一個指針指向它的父結(jié)點。于是我們可以從任何一個結(jié)點出發(fā)，得到一個到達樹根結(jié)點的單向鏈表。因此這個問題轉(zhuǎn)換為求兩個單向鏈表的第一個公共結(jié)點。
現(xiàn)在我們回到這個問題本身。所謂共同的父結(jié)點，就是兩個結(jié)點都出現(xiàn)在這個結(jié)點的子樹中。因此我們可以定義一函數(shù)，來判斷一個結(jié)點的子樹中是不是包含了另外一個結(jié)點。這不是件很難的事，我們可以用遞歸的方法來實現(xiàn)：

我們可以從根結(jié)點開始，判斷以當前結(jié)點為根的樹中左右子樹是不是包含我們要找的兩個結(jié)點。如果兩個結(jié)點都出現(xiàn)在它的左子樹中，那最低的共同父結(jié)點也出現(xiàn)在它的左子樹中。如果兩個結(jié)點都出現(xiàn)在它的右子樹中，那最低的共同父結(jié)點也出現(xiàn)在它的右子樹中。如果兩個結(jié)點一個出現(xiàn)在左子樹中，一個出現(xiàn)在右子樹中，那當前的結(jié)點就是最低的共同父結(jié)點?；谶@個思路，我們可以寫出如下代碼：

接著我們來分析一下這個方法的效率。函數(shù)HasNode的本質(zhì)就是遍歷一棵樹，其時間復雜度是O(n)（n是樹中結(jié)點的數(shù)目）。由于我們根結(jié)點開始，要對每個結(jié)點調(diào)用函數(shù)HasNode。因此總的時間復雜度是O(n^2)。
我們仔細分析上述代碼，不難發(fā)現(xiàn)我們判斷以一個結(jié)點為根的樹是否含有某個結(jié)點時，需要遍歷樹的每個結(jié)點。接下來我們判斷左子結(jié)點或者右結(jié)點為根的樹中是否含有要找結(jié)點，仍然需要遍歷。第二次遍歷的操作其實在前面的第一次遍歷都做過了。由于存在重復的遍歷，本方法在時間效率上肯定不是最好的。
前面我們提過如果結(jié)點中有一個指向父結(jié)點的指針，我們可以把問題轉(zhuǎn)化為求兩個鏈表的共同結(jié)點?，F(xiàn)在我們可以想辦法得到這個鏈表。我們在這里稍作變化即可：

 由于這個路徑是從跟結(jié)點開始的。最低的共同父結(jié)點就是路徑中的最后一個共同結(jié)點：

有了前面兩個子函數(shù)之后，求兩個結(jié)點的最低共同父結(jié)點就很容易了。我們先求出從根結(jié)點出發(fā)到兩個結(jié)點的兩條路徑，再求出兩條路徑的最后一個共同結(jié)點。代碼如下：

這種思路的時間復雜度是O(n)，時間效率要比第一種方法好很多。但同時我們也要注意到，這種思路需要兩個鏈表來保存路徑，空間效率比不上第一個方法。

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