基于John Carmark密碼詳解

更新時間：2013年05月06日 15:19:24 作者：

本篇文章對John Carmark密碼進行了分析介紹。需要的朋友參考下

有人在Quake III的源代碼里面發(fā)現(xiàn)這么一段用來求平方根的代碼:

/*================SquareRootFloat================*/

float SquareRootFloat(float number) {
    long i;
    float x, y;
    const float f = 1.5F;
    x = number * 0.5F;
    y = number;
    i = * ( long * ) &y;
    i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); //注意這一行
    y = * ( float * ) &i;
    y = y * ( f - ( x * y * y ) );
    y = y * ( f - ( x * y * y ) );
    return number * y;
}

x5f3759df？這是個什么東西？學過數(shù)值分析就知道，算法里面求平方根一般采用
的是無限逼近的方法，比如牛頓迭代法，抱歉當年我數(shù)值分析學的太爛，也講不清楚
。簡單來說比如求5的平方根，選一個猜測值比如2，那么我們可以這么算

/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; 2.25+xxx/2 = xxxx ...
這樣反復迭代下去，結果必定收斂于sqrt(5)，沒錯，一般的求平方根都是這么算的
。而卡馬克的不同之處在于，他選擇了一個神秘的猜測值0x5f3759df作為起始，使得
整個逼近過程收斂速度暴漲，對于Quake III所要求的精度10的負三次方，只需要一
次迭代就能夠得到結果。

好吧，如果這還不算牛b，接著看。

普渡大學的數(shù)學家Chris Lomont看了以后覺得有趣，決定要研究一下卡馬克弄出來的
這個猜測值有什么奧秘。Lomont也是個牛人，在精心研究之后從理論上也推導出一個
最佳猜測值，和卡馬克的數(shù)字非常接近, 0x5f37642f?？R克真牛，他是外星人嗎？

傳奇并沒有在這里結束。Lomont計算出結果以后非常滿意，于是拿自己計算出的起始
值和卡馬克的神秘數(shù)字做比賽，看看誰的數(shù)字能夠更快更精確的求得平方根。結果是
卡馬克贏了... 誰也不知道卡馬克是怎么找到這個數(shù)字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一個數(shù)字一個數(shù)字試過來，終于找到一個比卡馬克數(shù)
字要好上那么一丁點的數(shù)字，雖然實際上這兩個數(shù)字所產生的結果非常近似，這個暴
力得出的數(shù)字是0x5f375a86。

Lomont為此寫下一篇論文，"Fast Inverse Square Root"。

我把這個函數(shù)用C#就行了一下改寫：

復制代碼代碼如下:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;

namespace ConsoleApplication1
{
     class Program
     {
         static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine("Carmark's method:");
            Console.WriteLine(SquareRootFloat(3.0f).ToString());
            Console.WriteLine("Use Math.Sqrt() method:");
            Console.WriteLine(((float)Math.Sqrt(3.0)).ToString());
            Console.Read();
        }

private static float SquareRootFloat(float number)
{

            long i;
            float x, y;
            const float f = 1.5F;
            x = number * 0.5F;
            y = number;
            unsafe
            {
                i = * ( long * ) &y;
                i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); //注意這一行
                y = * ( float * ) &i;
            }
            y = y * ( f - ( x * y * y ) );
            y = y * ( f - ( x * y * y ) );
            return number * y;
        }
    }
}

第32、33行用了兩次牛頓迭代法，以達到一定的精度，當然你也可以自己控制精度，求出來的是y的平方根的倒數(shù)，所以最后返回為number*y.

SquareRootFloat函數(shù)最關鍵的一句就是 i=0x5f3759df-(i>>1);
以下是對它的部分解釋：

牛頓迭代法最關鍵的地方在于估計第一個近似根。如果該近似根與真根足夠靠近的話,那么只需要少數(shù)幾次迭代,就可以得到滿意的解。

接著,我們要設法估計第一個近似根。這也是上面的函數(shù)最神奇的地方。它通過某種方法算出了一個與真根非常接近的近似根,因此它只需要使用一次迭代過程就獲得了較滿意的解。它是怎樣做到的呢？所有的奧妙就在于這一行：

i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 計算第一個近似根

超級莫名其妙的語句,不是嗎？但仔細想一下的話,還是可以理解的：float類型的數(shù)據(jù)在32位系統(tǒng)上是這樣表示的。

bits：31 30 ... 031：符號位30-23：共8位,保存指數(shù)（E）22-0：共23位,保存尾數(shù)（M）

所以,32位的浮點數(shù)用十進制實數(shù)表示就是：M*2^E。開根然后倒數(shù)就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)?，F(xiàn)在就十分清晰了。語句i>>1其工作就是將指數(shù)除以2,實現(xiàn)2^(E/2)的部分。而前面用一個常數(shù)減去它,目的就是得到M^(1/2)同時反轉所有指數(shù)的符號。