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基于C++實(shí)現(xiàn)柏林噪聲算法(Perlin?Noise)

更新時(shí)間：2023年03月31日 10:28:18 作者：寡人正在Coding

Perlin噪聲（Perlin?noise，又稱(chēng)為柏林噪聲）指由Ken?Perlin發(fā)明的自然噪聲生成算法，具有在函數(shù)上的連續(xù)性，并可在多次調(diào)用時(shí)給出一致的數(shù)值。本文將用C++實(shí)現(xiàn)柏林噪聲算法，感興趣的可以了解一下

概述

引述維基百科的介紹：

Perlin噪聲（Perlin noise，又稱(chēng)為柏林噪聲）指由Ken Perlin發(fā)明的自然噪聲生成算法，具有在函數(shù)上的連續(xù)性，并可在多次調(diào)用時(shí)給出一致的數(shù)值。在電子游戲領(lǐng)域中可以透過(guò)使用Perlin噪聲生成具連續(xù)性的地形；或是在藝術(shù)領(lǐng)域中使用Perlin噪聲生成圖樣。

維基百科的介紹相當(dāng)?shù)墓俜?，其?shí)可以理解為一個(gè)隨機(jī)函數(shù)，不過(guò)有以下兩個(gè)特點(diǎn)：

連續(xù)的輸入得到的輸出更加平滑（對(duì)連續(xù)的輸入有一定權(quán)重采樣）
相同的輸入必定得到相同的輸出（有的隨機(jī)函數(shù)有狀態(tài)（時(shí)間種子），這里更像是Hash函數(shù)）

它適用于希望給定連續(xù)的輸入，能夠給出相對(duì)連續(xù)的隨機(jī)輸出。（例如，模擬自然地形生成：想象地形不能前一步是高山，腳下是深谷，后一步又是高山這種連續(xù)劇烈的變化）

隨機(jī)函數(shù)噪聲：

柏林噪聲：

原理

對(duì)于有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，一提到“平滑”，直覺(jué)上就會(huì)想到插值、平滑函數(shù)等。沒(méi)錯(cuò)，柏林噪聲其實(shí)就是使用插值、平滑函數(shù)，有時(shí)會(huì)在此基礎(chǔ)上使用倍頻，波形疊加（傅里葉變換）等方法對(duì)波形調(diào)整。

先把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，考慮一個(gè)一維的柏林噪聲生成：

上面提到了插值，插值首先要有值：靜態(tài)生成一組隨機(jī)數(shù)，在一個(gè)坐標(biāo)系中每單位距離散落一個(gè)隨機(jī)數(shù)。不妨令：rands是這個(gè)隨機(jī)數(shù)數(shù)組，上圖中y1 = rands[0], y2 = rands[1], ...，x2 - x1 = delta_x = 上述的單位距離，建立一個(gè)坐標(biāo)系。

對(duì)于散落在[0, rands.Len - 1]區(qū)間的某個(gè)值n來(lái)說(shuō)（[rands.Len-1, rands.Len]區(qū)間對(duì)應(yīng)的x的點(diǎn)規(guī)定不能取到，因?yàn)橄旅嬗?jì)算會(huì)推到rands[n + 1]）,假設(shè)n對(duì)應(yīng)上圖P點(diǎn)則有：

Noise(P) = Y1 + (Y2 - Y1) * F((xp - x1)/(delta_x))

理解下這個(gè)公式：

Y1指紅色的那個(gè)函數(shù)表達(dá)式（N），Y2指黃色的(N + 1)

Noise(P)類(lèi)型插值函數(shù): Lerp = yn + (yn+1 - yn) * t, t 取值 [0, 1]，在這里:

yn = Y1
yn+1 = Y2
t = F((xp - x1)/(delta_x))

這里的F是指平滑函數(shù)，上述（t）可知F在[0,1]的輸出也必須在[0,1]區(qū)間內(nèi)，通常F(x) = 6 * x^5 - 15 * x^4 - 10 * x^3，顧名思義就是對(duì)輸入進(jìn)行平滑，函數(shù)圖像如下：

帶入數(shù)據(jù)來(lái)算：

Noise(p) = Y1(xp) + (Y2(xp) - Y1(xp)) * F((xp - x1)/(delta_x))

就不展開(kāi)了

再來(lái)思考下它的實(shí)現(xiàn)原理：

隨機(jī)：對(duì)于Noise(p)來(lái)說(shuō)它的值取決于y1和y2兩個(gè)隨機(jī)數(shù)
平滑: Noise(p)取值是通過(guò)前后插值得到的，其插值參數(shù)t也經(jīng)過(guò)平滑處理

其思路可以拓展到2維、3維，以2維舉例：

p落在abcd組成的2維網(wǎng)格中，其實(shí)可以視為3次1維的計(jì)算：分別計(jì)算pab、pcd所在1維直線(xiàn)（ab、cd）的結(jié)果，在此基礎(chǔ)上計(jì)算pad、pcd所在的線(xiàn)上p點(diǎn)的結(jié)果。這個(gè)計(jì)算會(huì)在下面的代碼實(shí)現(xiàn)中更加具象化體現(xiàn)出來(lái)。（注意有一點(diǎn)計(jì)算是不一樣的，一維中y = kx + b計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)之間的影響在2維空間不適用，點(diǎn)會(huì)受到2個(gè)維度的影響，具體看下面實(shí)現(xiàn)中的示例）

經(jīng)典實(shí)現(xiàn)

static int p[512] = { 
    151,160,137,91,90,15,					
    131,13,201,95,96,53,194,233,7,225,140,36,103,30,69,142,8,99,37,240,21,10,23,	
    190, 6,148,247,120,234,75,0,26,197,62,94,252,219,203,117,35,11,32,57,177,33,
    88,237,149,56,87,174,20,125,136,171,168, 68,175,74,165,71,134,139,48,27,166,
    77,146,158,231,83,111,229,122,60,211,133,230,220,105,92,41,55,46,245,40,244,
    102,143,54, 65,25,63,161, 1,216,80,73,209,76,132,187,208, 89,18,169,200,196,
    135,130,116,188,159,86,164,100,109,198,173,186, 3,64,52,217,226,250,124,123,
    5,202,38,147,118,126,255,82,85,212,207,206,59,227,47,16,58,17,182,189,28,42,
    223,183,170,213,119,248,152, 2,44,154,163, 70,221,153,101,155,167, 43,172,9,
    129,22,39,253, 19,98,108,110,79,113,224,232,178,185, 112,104,218,246,97,228,
    251,34,242,193,238,210,144,12,191,179,162,241, 81,51,145,235,249,14,239,107,
    49,192,214, 31,181,199,106,157,184, 84,204,176,115,121,50,45,127, 4,150,254,
    138,236,205,93,222,114,67,29,24,72,243,141,128,195,78,66,215,61,156,180,

    151,160,137,91,90,15,					
    131,13,201,95,96,53,194,233,7,225,140,36,103,30,69,142,8,99,37,240,21,10,23,	
    190, 6,148,247,120,234,75,0,26,197,62,94,252,219,203,117,35,11,32,57,177,33,
    88,237,149,56,87,174,20,125,136,171,168, 68,175,74,165,71,134,139,48,27,166,
    77,146,158,231,83,111,229,122,60,211,133,230,220,105,92,41,55,46,245,40,244,
    102,143,54, 65,25,63,161, 1,216,80,73,209,76,132,187,208, 89,18,169,200,196,
    135,130,116,188,159,86,164,100,109,198,173,186, 3,64,52,217,226,250,124,123,
    5,202,38,147,118,126,255,82,85,212,207,206,59,227,47,16,58,17,182,189,28,42,
    223,183,170,213,119,248,152, 2,44,154,163, 70,221,153,101,155,167, 43,172,9,
    129,22,39,253, 19,98,108,110,79,113,224,232,178,185, 112,104,218,246,97,228,
    251,34,242,193,238,210,144,12,191,179,162,241, 81,51,145,235,249,14,239,107,
    49,192,214, 31,181,199,106,157,184, 84,204,176,115,121,50,45,127, 4,150,254,
    138,236,205,93,222,114,67,29,24,72,243,141,128,195,78,66,215,61,156,180
};


static float3 grads[12] = {
    {1,1,0},
    {-1,1,0},
    {1,-1,0},
    {-1,-1,0},

    {1,0,1},
    {-1,0,1},
    {1,0,-1},
    {-1,0,-1},

    {0,1,1},
    {0,-1,1},
    {0,1,-1},
    {0,-1,-1}
};

float grad(int hash, float x, float y, float z)
{
    float3 v3 = float3(x,y,z);
    hash = hash & 0xb;
    return dot(grads[hash],v3);
}

int inc(int num) {
    num++;
    return num;
}

float fade(float t) {
    return t * t * t * (t * (t * 6 - 15) + 10);         
}

float perlin(float x,float y,float z)
{
    int xi = (int)x & 255;
    int yi = (int)y & 255;
    int zi = (int)z & 255;

    float xf = x - xi;
    float yf = y - yi;
    float zf = z - zi;

    float u = fade(xf);
    float v = fade(yf);
    float w = fade(zf);

    int aaa, aba, aab, abb, baa, bba, bab, bbb;
    aaa = p[p[p[    xi ]+    yi ]+    zi ];
    aba = p[p[p[    xi ]+inc(yi)]+    zi ];
    aab = p[p[p[    xi ]+    yi ]+inc(zi)];
    abb = p[p[p[    xi ]+inc(yi)]+inc(zi)];
    baa = p[p[p[inc(xi)]+    yi ]+    zi ];
    bba = p[p[p[inc(xi)]+inc(yi)]+    zi ];
    bab = p[p[p[inc(xi)]+    yi ]+inc(zi)];
    bbb = p[p[p[inc(xi)]+inc(yi)]+inc(zi)];

    float x1, x2, y1, y2;
    x1 = lerp(    grad (aaa, xf  , yf  , zf),           
        grad (baa, xf-1, yf  , zf),             
        u);                                     
    x2 = lerp(    grad (aba, xf  , yf-1, zf),           
    grad (bba, xf-1, yf-1, zf),             
        u);
    y1 = lerp(x1, x2, v);

    x1 = lerp(    grad (aab, xf  , yf  , zf-1),
        grad (bab, xf-1, yf  , zf-1),
        u);
    x2 = lerp(    grad (abb, xf  , yf-1, zf-1),
        grad (bbb, xf-1, yf-1, zf-1),
        u);
    y2 = lerp (x1, x2, v);

    return lerp (y1, y2, w); 
}

這段代碼是3維的perlin函數(shù)，控制參數(shù)也可以實(shí)現(xiàn)1維、2維計(jì)算，從perlin函數(shù)看起：

1.靜態(tài)的p[512]數(shù)組散落隨機(jī)數(shù)數(shù)組每256個(gè)分為一塊，共兩塊（為了方便計(jì)算）。aaa = p[p[p[ xi ]+ yi ]+ zi ] 類(lèi)似的其實(shí)就是進(jìn)行一次哈希計(jì)算，打亂順序結(jié)果盡可能隨機(jī)，類(lèi)似于一維中的每隔單位距離散落隨機(jī)數(shù)。

2.grads數(shù)組和grad函數(shù)就是確定這個(gè)p點(diǎn)分別受這8個(gè)頂點(diǎn)影響的程度，在計(jì)算上體現(xiàn)就是進(jìn)行內(nèi)積（投影），注意這里的類(lèi)比于一維的計(jì)算是有差別的：這里提到所謂的“梯度”，在一維計(jì)算里梯度就是指y = kx + 1中的k也就是斜率，而在三維空間中，梯度受3個(gè)維度的影響，在這里進(jìn)行了簡(jiǎn)化從預(yù)設(shè)的12個(gè)向量中選?。ㄖ劣跒槭裁匆?jiàn)參考鏈接：柏林噪聲作者論文）。

3.接著就是進(jìn)行l(wèi)erp插值，對(duì)各個(gè)頂點(diǎn)方向上的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行平滑。

一個(gè)其他非典型實(shí)現(xiàn)示例

float rand(float2 p){
    return frac(sin(dot(p ,float2(12.9898,78.233))) * 43758.5453);
}

float noise(float2 x)
{
    float2 i = floor(x);
    float2 f = frac(x);

    float a = rand(i);
    float b = rand(i + float2(1.0, 0.0));
    float c = rand(i + float2(0.0, 1.0));
    float d = rand(i + float2(1.0, 1.0));
    float2 u = f * f * f * (f * (f * 6 - 15) + 10);

    float x1 = lerp(a,b,u.x);
    float x2 = lerp(c,d,u.x);
    return lerp(x1,x2,u.y);
}

可以看到這種實(shí)現(xiàn)和上文中的思路是一樣的，只是hash函數(shù)和計(jì)算各個(gè)方向上的影響計(jì)算進(jìn)行了簡(jiǎn)化。