Python實現(xiàn)兩種稀疏矩陣的最小二乘法

更新時間：2023年02月26日 08:55:12 作者：微小冷

這篇文章主要為大家詳細介紹了Python實現(xiàn)的兩種稀疏矩陣最小二乘法lsqr和lsmr，前者是經(jīng)典算法，后者來自斯坦福優(yōu)化實驗室，據(jù)稱可以比lsqr更快收斂，感興趣的可以了解一下

最小二乘法

scipy.sparse.linalg實現(xiàn)了兩種稀疏矩陣最小二乘法lsqr和lsmr，前者是經(jīng)典算法，后者來自斯坦福優(yōu)化實驗室，據(jù)稱可以比lsqr更快收斂。

這兩個函數(shù)可以求解Ax=b，或arg min_x ∥Ax−b∥²，或arg min_x ∥Ax−b∥² +d²∥x−x0∥²，其中A必須是方陣或三角陣，可以有任意秩。

通過設(shè)置容忍度a_t,b_t,可以控制算法精度，記r=b-A_x為殘差向量，如果A_x=b是相容的，lsqr在∥r∥?a_t∗∥A∥⋅∥x∥+b_t∥b∥時終止；否則將在∥A^T_r∥?a_t∥A∥⋅∥r∥。

如果兩個容忍度都是10⁻⁶ ，最終的∥r∥將有6位精度。

lsmr的參數(shù)如下

lsmr(A, b, damp=0.0, atol=1e-06, btol=1e-06, conlim=100000000.0, maxiter=None, show=False, x0=None)

參數(shù)解釋：

A 可謂稀疏矩陣、數(shù)組以及線性算子
b 為數(shù)組
damp 阻尼系數(shù)，默認為0
atol, btol 截止容忍度，是lsqr迭代的停止條件，即a_t,b_t 。
conlim 另一個截止條件，對于最小二乘問題，conlim應(yīng)該小于10⁸，如果A_x=b是相容的，則conlim最大可以設(shè)到10¹²
iter_limint 迭代次數(shù)
show 如果為True，則打印運算過程
calc_var 是否估計(A.T@A + damp**2*I)^{-1}的對角線
x0 阻尼系數(shù)相關(guān)

lsqr和lsmr相比，沒有maxiter參數(shù)，但多了iter_lim, calc_va參數(shù)。

上述參數(shù)中，damp為阻尼系數(shù)，當(dāng)其不為0時，記作δ，待解決的最小二乘問題變?yōu)?/p>

返回值

lsmr的返回值依次為：

x 即A_x=b中的x
istop 程序結(jié)束運行的原因
itn 迭代次數(shù)
normr ∥b−A_x∥
normar ∥A^T (b−Ax)∥
norma ∥A∥
conda A的條件數(shù)
normx ∥x∥

lsqr的返回值為

x 即A_x=b中的x
istop 程序結(jié)束運行的原因
itn 迭代次數(shù)
r1norm
anorm 估計的Frobenius范數(shù)Aˉ
acond Aˉ的條件數(shù)
arnorm ∥A^T_r−δ²(x−x₀)∥
xnorm ∥x∥
var (A^TA)⁻¹

二者的返回值較多，而且除了前四個之外，剩下的意義不同，調(diào)用時且須注意。

測試

下面對這兩種算法進行驗證，第一步就得先有一個稀疏矩陣

import numpy as np
from scipy.sparse import csr_array

np.random.seed(42)  # 設(shè)置隨機數(shù)狀態(tài)
mat = np.random.rand(500,500)
mat[mat<0.9] = 0
csr = csr_array(mat)

然后用這個稀疏矩陣乘以一個x，得到b

xs = np.arange(500)
b = mat @ xs

接下來對這兩個最小二乘函數(shù)進行測試

from scipy.sparse.linalg import lsmr, lsqr
import matplotlib.pyplot as plt
mx = lsmr(csr, b)[0]
qx = lsqr(csr, b)[0]
plt.plot(xs, lw=0.5)
plt.plot(mx, lw=0, marker='*', label="lsmr")
plt.plot(qx, lw=0, marker='.', label="lsqr")
plt.legend()
plt.show()

為了對比清晰，對圖像進行放大，可以說二者不分勝負

接下來比較二者的效率，500 × 500 500\times500500×500這個尺寸顯然已經(jīng)不合適了，用2000×2000

from timeit import timeit

np.random.seed(42)  # 設(shè)置隨機數(shù)狀態(tài)
mat = np.random.rand(500,500)
mat[mat<0.9] = 0
csr = csr_array(mat)
timeit(lambda : lsmr(csr, b), number=10)
timeit(lambda : lsqr(csr, b), number=10)

測試結(jié)果如下