我們此前學(xué)了前綴樹Trie的實(shí)現(xiàn)原理以及Java代碼的實(shí)現(xiàn)。Trie樹很好，但是它只能基于前綴匹配實(shí)現(xiàn)功能。但是如果我們的需求是：一個已知字符串中查找子串，并且子串并不一定符合前綴匹配，那么此時Trie樹就無能為力了。

實(shí)際上這種字符串匹配的需求，在開發(fā)中非常常見，例如判斷一個字符串是否包括某些子串，然后進(jìn)行分別的處理。

暴力匹配算法（Brute-Force，BF）

這是最常見的算法字符串匹配算法，暴力匹配也叫樸素匹配。

思路很簡單，從主串的第i個字符開始遍歷，依次與子串的每個字符進(jìn)行匹配，如果某個字符匹配失敗，則主串回溯第i+1個字符，子串回溯到第1個字符，重新開始匹配，直到遍歷完主串匹配失敗或者遍歷完子串匹配成功。

很明顯這種算法需要在一個雙重for循環(huán)中實(shí)現(xiàn)，時間復(fù)雜度為O(m*n)，m為主串長度，n為子串長度。隨著字符串長度的增長，時間復(fù)雜度快速上升。

Java中字符串的contains方法實(shí)際上就是采用的BF算法。

public static int bf(String word, String k) {
    char[] wordChars = word.toCharArray();
    char[] keyChars = k.toCharArray();
    for (int i = 0; i < wordChars.length; i++) {
        int j = 0, x = i;
        //依次匹配
        while (x < wordChars.length && j < keyChars.length && wordChars[x] == keyChars[j]) {
            x++;
            j++;
        }
        if (j == keyChars.length) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

概念和原理

KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 于1977年共同提出的，稱之為 Knuth-Morria-Pratt 算法，簡稱 KMP 算法。

KMP算法是一種改進(jìn)的字符串匹配算法，核心是利用之前的匹配失敗時留下的信息，選擇最長匹配長度直接滑動，從而減少匹配次數(shù)。KMP 算法時間復(fù)雜度為O(m+n)，m為主串長度，n為子串長度。

BF匹配失敗之后，主串和子串都會最大回溯，但是很多時候都是沒有必要的。例如對于主串a(chǎn)bababcd，子串a(chǎn)babc，第一次匹配之后，很明顯主串和子串會匹配失敗，但是我們能夠知道他們的能夠匹配的前綴串，即abab：

如果在第二次匹配的時候，主串不回溯，子串滑動兩個字符長度，那么我們就能在第二次的時候?qū)崿F(xiàn)匹配成功。

到這里，這種加速的方法已經(jīng)呼之欲出了，但是我們先介紹兩個重要概念：

1.匹配前綴：在某一次主串和子串的匹配失敗之后，前面匹配成功的那部分子串就被稱為匹配前綴。這就是一次匹配失敗時留下的信息。

例如主串a(chǎn)bcde，子串a(chǎn)bcc，那么在第一次匹配的時候，匹配前綴為abc。

2.最長匹配長度：對于每次匹配失敗后的匹配前綴串，其前綴子串（連續(xù)，且一定包括第一個字符，不包括最后一個字符）和后綴子串（連續(xù)，且一定包括最后一個字符，不包括第一個字符）中，相同的前后綴子串的最長子串長度，此時的前綴、后綴字串也被稱為最長真前綴、后綴子串。

• 例如匹配前綴abc，沒有匹配的前綴和后綴，那么其最長匹配長度為0。
• 例如匹配前綴cbcbc，最長匹配的前綴和后綴子串為cbc，那么其最長匹配長度為3。
• 例如匹配前綴abbcbab，最長匹配的前綴和后綴子串為ab，那么其最長匹配長度為2。

有了這兩個概念，那么我們才能進(jìn)行跳躍式滑動，對于主串，在匹配失敗的位置不進(jìn)行回溯，對于子串，則是回溯（滑動）到其匹配前綴的最長匹配長度的位置上繼續(xù)匹配，這樣就跳過了之前的部字符串的匹配，且只需要匹配剩下的部分字符串即可。

我們再詳細(xì)解釋下，這里子串跳過的到底什么？實(shí)際上它跳過的就是匹配前綴串的最長匹配長度串。
設(shè)主串a(chǎn)bababcd，子串a(chǎn)babc，第一次匹配失敗之后，主串匹配索引i=4，子串匹配索引j=4，此時匹配的相同前綴串為abab，它的最長匹配長度為2，即最長前綴串a(chǎn)b和最長后綴串a(chǎn)b。

那么第二次匹配之前，字串匹配索引j直接跳到第一匹配的相同前綴串的最長匹配長度的索引位置上即j=2。我們可以這么理解，主串的第一次匹配的相同前綴串的最長匹配后綴，與子串第一次匹配的相同前綴串的最長匹配前綴相等（或者說重合）。這是我們在底層一次失敗匹配之后得到的有效信息，在第二次匹配時自然可以利用起來，利用最長的前后綴匹配信息，跳過這些多余的匹配，實(shí)現(xiàn)加速。（后續(xù)學(xué)習(xí)的AC自動機(jī)也是采用了前后綴匹配的思想）

這就是KMP算法加速的核心原理，每次匹配失敗之后，利用匹配失敗的信息，找到最長匹配長度，然后主串不回溯，子串盡可能少的回溯，相比于BF算法，減少了沒必要的匹配次數(shù)。

next數(shù)組

基于上面的原理，我們知道可能會不止一次查找最長匹配長度，而且我們會發(fā)現(xiàn)，最長匹配長度的范圍只能在子串長度范圍之內(nèi)，而且其計算結(jié)果只和子串有關(guān)。那么我們就可以先初始化一個數(shù)組，用來保存不同長度的前綴的最長匹配長度。

這就是所謂的next數(shù)組，也被稱為部分匹配表(Partial Match Table)，也是KMP算法的核心。next數(shù)組的大小就是子串的長度，每個的索引位置i表示長度為i+1的子串的匹配前綴子串，值v表示對應(yīng)匹配前綴子串的最長匹配長度。

假設(shè)子串為ababc，那么next數(shù)組值為：

假設(shè)子串為abcabdabcabc，那么對應(yīng)的next數(shù)組如下：

其實(shí)很好理解：

現(xiàn)在，我們的首要問題變成了求next數(shù)組。

首先，切next數(shù)組的問題實(shí)際上就是求最大的前、后綴長度的問題，那么我們可以使用最樸素的方式求解：

public static int[] getNext(String word) {
    int[] next = new int[word.length()];
    //從兩個字符的子串開始遍歷
    for (int i = 1; i < word.length(); i++) {
        int k = i;
        //從最大的最長匹配值開始縮短
        while (k > 0) {
            //如果前綴等于后綴，那么表示獲取到了最長匹配，直接返回
            if (word.substring(0, k).equals(word.substring(i - (k - 1), i + 1))) {
                next[i] = k;
                break;
            }
            k--;
        }
    }
    return next;
}

不難發(fā)現(xiàn)，求解next數(shù)組的時間復(fù)雜度為O(n^2)，是否有更快速的方法呢？當(dāng)然有，可以發(fā)現(xiàn)，在求next[i]的最長匹配長度的時候，next[0], next[1], … next[i-1]的結(jié)果已經(jīng)求出來了。因此我們嘗試?yán)么饲暗慕Y(jié)果直接推導(dǎo)出后面的結(jié)果。下面是分情況討論。

設(shè)子串為str=ababc，i=3，那么next[i-1]=1，即子串a(chǎn)ba的的最長匹配長度為1，那么str[next[i-1]]實(shí)際上就是最長匹配子串前綴后一個字符，即str[1]=b。

如果str[i]=str[next[i-1]]，就相當(dāng)于在前一個子串的最長匹配長度的基礎(chǔ)上增加了一位，即next[i]=next[i-1]+1。如下圖：

如果str[i]!=str[next[i-1]]，此時就會復(fù)雜一些。此時我們需要縮短最長匹配子串的長度，具體怎么縮短呢？

設(shè)str = abcabdabcabc，設(shè)i = 11，即最后一個字符c，那么next[i-1] = 5，但是由于str[i] != str[next[i-1]]，即d != c，那么此時我們需要求i-1的最長匹配長度子串a(chǎn)bcab的最長匹配長度子串，即next[next[i-1]-1] = 2，然后判斷str[i]是否等于str[next[next[i-1]-1]]，如果相等則同第一種情況，否則繼續(xù)縮減直到next[next[i-1]-1]為0為止，此時表示當(dāng)前子串的最長匹配長度也為0。如下圖：

基于上面的規(guī)律，我們的改進(jìn)算法如下：

public static int[] getNext2(String k) {
    int[] next = new int[k.length()];
    char[] chars = k.toCharArray();
    //i表示匹配的字符索引，pre表示前一個子串的最長匹配長度，即next[i-1]
    int i = 1, pre = next[i - 1];
    while (i < k.length()) {
        //如果新增的字符與前一個子串的最長匹配子串前綴的后一個字符相等
        if (chars[i] == chars[pre]) {
            //next[i]=next[i-1]+1
            pre++;
            next[i] = pre;
            //繼續(xù)后移
            i++;
        }
        //如果不相等，且前一個子串的最長匹配長度不為0
        //那么求i-1的最長匹配長度子串的最長匹配長度子串，即pre=next[next[i-1]-1]
        //然后在下一輪循環(huán)中繼續(xù)比較chars[i] == chars[pre]，此時i并沒有自增
        else if (pre != 0) {
            //next[next[i-1]-1]
            pre = next[pre - 1];
        }
        //如果不相等，且前一個子串的最長匹配長度為0，那么說明當(dāng)前子串的最長匹配長度也為0
        else {
            //當(dāng)前子串的最長匹配長度為0
            next[i] = 0;
            //繼續(xù)后移
            i++;
        }
    }
    return next;

這種算法的時間復(fù)雜度為O(n)，大大縮短了求next數(shù)組的時間。

KMP匹配

有了next數(shù)組，那么KMP算法就很容易實(shí)現(xiàn)了。

使用i和j分別表示主串和子串的匹配進(jìn)度，i永遠(yuǎn)不會回退，依次匹配主串和子串的字符：

1.如果字符相等則推進(jìn)i、j，并且判斷如果匹配到了一個完整的子串，那么返回起始索引。

2.如果不相等：

• 如果當(dāng)前子串進(jìn)度為0，那么子串不需要回退，主串向后推進(jìn)i，重新開始匹配；
• 如果當(dāng)前子串進(jìn)度不為0，那么子串進(jìn)度需要回退到next[j-1]的位置，此前的位置不再需要匹配，主串不需要向后推進(jìn)i，隨后重新開始匹配。

如果i進(jìn)度匹配完畢，那么退出循環(huán)，表示沒有匹配到任何完整的子串，返回-1。

public static int kmp(String word, String k) {
    int[] next = getNext(k);
    //i,j分別表示主串和子串的匹配進(jìn)度
    int m = word.length(), n = k.length(), i = 0, j = 0;
    //如果i匹配完畢，那么退出循環(huán)
    while (i < m) {
        //如果字符相等，那么向后推進(jìn)i、j
        if (word.charAt(i) == k.charAt(j)) {
            i++;
            j++;
            //如果匹配到了一個完整的子串
            if (j == n) {
                //返回起始索引
                return i - n;
            }
        }
        //如果當(dāng)前子串進(jìn)度為0，那么子串不需要回退，主串向后推進(jìn)i
        else if (j == 0) {
            i++;
        }
        //如果當(dāng)前子串進(jìn)度不為0，那么子串需要回退，主串不需要向后推進(jìn)i
        else {
            //子串進(jìn)度j回退
            j = next[j - 1];
        }
    }
    return -1;
}

KMP全匹配

上面我們的實(shí)現(xiàn)是返回第一個匹配到的模式串的起始索引，那么如果我們需要返回所有匹配到的模式串的起始索引呢？
其實(shí)也很簡單。在每次匹配某個字符成功之后判斷，如果匹配到了一個完整的子串，那么我們求起始索引并且加入結(jié)果集，然后子串點(diǎn)位j需要回退，繼續(xù)循環(huán)。

public static List<Integer> kmpAll(String word, String k) {
    List<Integer> res = new ArrayList<>();
    int[] next = getNext(k);
    //i,j分別表示主串和子串的匹配進(jìn)度
    int m = word.length(), n = k.length(), i = 0, j = 0;
    //如果i匹配完畢，或者j匹配完畢，那么退出循環(huán)
    while (i < m) {
        //如果字符相等，那么向后推進(jìn)i、j
        if (word.charAt(i) == k.charAt(j)) {
            i++;
            j++;
            //如果匹配到了一個完整的子串
            if (j == n) {
                //將起始索引加入結(jié)果集
                res.add(i - n);
                //子串進(jìn)度j回退
                j = next[j - 1];
            }
        }
        //如果當(dāng)前子串進(jìn)度為0，那么子串不需要回退，主串向后推進(jìn)i
        else if (j == 0) {
            i++;
        }
        //如果當(dāng)前子串進(jìn)度不為0，那么子串需要回退，主串不需要向后推進(jìn)i
        else {
            //子串進(jìn)度j回退
            j = next[j - 1];
        }
    }
    return res;
}

總結(jié)

KMP算法是一種優(yōu)化的字符串匹配算法，m為主串長度，n為子串長度。由于構(gòu)建了 next 數(shù)組，空間復(fù)雜度為 O(m)。匹配時主串不會回退，子串回退不會超過n，總體算法時間復(fù)雜度為O(m+n)。

next數(shù)組是實(shí)現(xiàn)算法加速的關(guān)鍵，它的核心是查找最長前后綴匹配長度，這也是理解KMP算法的核心。

到此這篇關(guān)于Java數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之KMP算法詳解以及代碼實(shí)現(xiàn)的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Java KMP算法內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

最新評論