C++實(shí)例分析組合數(shù)的計(jì)算與排列組合的產(chǎn)生
組合數(shù)的計(jì)算
使用加法遞推—O(n^2)
邊界條件
int C[1001][1001]; // 根據(jù)實(shí)際需要開(kāi)數(shù)組,必要時(shí)采用高精度類型 //…… memset(C,0,sizeof(C)); for (int i=0;i<=n;i++) { C[i][0]=1; for (int j=0;j<=i;j++) C[i][j]=C[i-1][j-1] + C[i-1][j]; }
使用乘法遞推—O(n)
邊界條件
必須先乘后除,否則除不開(kāi)
一個(gè)小優(yōu)化:
(m>n/2時(shí)用)
int C[1001]; // C[m]其實(shí)表示C[n][m],必要時(shí)采用高精度類型 …… C[0]=1; if (m>n-m) m=n-m; for (int i=1;i<=m;i++) C[i] = (n-i+1) * C[i-1] / i; // 如果怕溢出,可以把中間結(jié)果轉(zhuǎn)化成long long。
排列和組合的產(chǎn)生(無(wú)重集元素)
int item[N]; // 第i位要放置的數(shù)字 bool used[N]; int n,m;
全排列
將 n 個(gè)數(shù)字 1~n 進(jìn)行排序,有多少種排序方法?
使用深度優(yōu)先搜索,對(duì) n 個(gè)位置逐個(gè)進(jìn)行試探。時(shí)間復(fù)雜度為 O(n!)。
void full_ permutation(int depth) { if (depth==n) { // print(); // 輸出結(jié)果 return; } for (int i=0; i<n; i++) if (!used[i]) { used[i]=true; item[depth]=i+1; try(depth+1); used[i]=false; // 別忘記清除”使用”標(biāo)記 } }
一般組合
從 n 個(gè)元素 1~n 中任取 m 個(gè)元素,有多少種取法?
一個(gè)合法的組合有這樣一個(gè)特點(diǎn):排在右面的數(shù)字一定嚴(yán)格大于左面的數(shù)字。比如說(shuō)某一位上取了 3,那么從 4 開(kāi)始搜索下一位就可以了。
void combination(int depth, int p) { if (depth==m) { // print(); // 輸出結(jié)果 return; } for (int i=p+1 ; i<n-(m-depth) ; i++) { // 由于后面的元素一定前面的大,所以不需要標(biāo)記used了。 item[depth]=i; try(depth+1); } } combination(0,0);
全組合
輸入 n 個(gè)數(shù),求這 n 個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合的所有非空子集。
和一般組合不同,這次只要產(chǎn)生一個(gè)解,就馬上輸出。
void full_combination(int l, int p) { for (int i=0; i<l; i++) // 每次進(jìn)入遞歸函數(shù)都輸出 cout<<item[i]<<" "; cout<<endl; for (int i=p; i<n; i++) { item[l] = i; // 在l位置放上該數(shù) full_combination(l+1, i+1); // 填下一個(gè)位置 } } full_combination(0, 0);
注意:對(duì)于一個(gè)整數(shù),每一位不是 0 就是 1,所以可以用整數(shù)來(lái)表示一個(gè)集合。具體實(shí)例可參見(jiàn) “2.8Healthy Holsteins”。
由上一排列產(chǎn)生下一排列
① 從右往左尋找第一個(gè)小于右邊的數(shù),位置為 j。
② 在 j 位置的右邊尋找大于 aj的最小數(shù)字 ak(位置 k)
③ 將 aj 與 ak的值進(jìn)行交換
④ 將數(shù)列的 j+1 位到 n 位倒轉(zhuǎn)。
int a[N]; // 初始化:a[i]是字典序最小的排列, 0≤i<N int j,k, p,q, temp; j=(n-1) - 1; while ((j>=0)&&(a[j]>a[j+1])) j--; // 從右往左尋找第一個(gè)小于右邊的數(shù),位置為j。 if (j>=0) // 如果j<0說(shuō)明已經(jīng)排完了。 { k=n-1; while (a[k]<a[j]) k--; // 在j位置的右邊尋找大于aj的最小數(shù)字ak(位置k) swap(a[j], a[k]); // 將aj與ak的值進(jìn)行交換 for (p=j+1,q=n-1; p<q; p++,q--) // 將數(shù)列的j+1位到n位倒轉(zhuǎn) swap(a[p], a[q]); }
STL 中有與此相同的算法。頭文件為<algorithm>。
next_permutation(序列第一項(xiàng)的地址, 序列最后一項(xiàng)的地址+1):產(chǎn)生下一排列。
prev_permutation(序列第一項(xiàng)的地址, 序列最后一項(xiàng)的地址+1):產(chǎn)生上一排列。
這兩個(gè)函數(shù)能夠用于可重集的排列。
由上一組合產(chǎn)生下一組合
① 從右向左尋找可以往下取一個(gè)元素的數(shù),位置為 j。
(舉個(gè)例子:從 7 個(gè)數(shù)中取 4 個(gè)數(shù),有一個(gè)組合為 1367,那么 6、7 就不能再往下取了)
② 數(shù)列的 j 位到 n 位重新取元素。
注意:
① 從 N 個(gè)連續(xù)元素中取 M 個(gè)元素。如果元素序號(hào)不連續(xù),就需要修改下面的“+1”。
② 右側(cè)的數(shù)字一定嚴(yán)格大于左側(cè)的數(shù)字。
int a[M]; // 初始化:a[i]是字典序最小的排序, 0≤i<M,1≤a[i]≤N //…… int j=m-1; while ((j>=0)&&(a[j]==n-(m-1 -j))) j--; if (i>=0) { a[j]++; for (int k=j+1; k<m; k++) a[k]=a[k-1]+1; }
到此這篇關(guān)于C++實(shí)例分析組合數(shù)的計(jì)算與排列組合的產(chǎn)生的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C++組合數(shù)的計(jì)算內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!
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