Java實現(xiàn)世界上最快的排序算法Timsort的示例代碼
背景
Timsort 是一個混合、穩(wěn)定的排序算法,簡單來說就是歸并排序和二分插入排序算法的混合體,號稱世界上最好的排序算法。Timsort一直是 Python 的標準排序算法。Java SE 7 后添加了Timsort API ,我們從Arrays.sort
可以看出它已經是非原始類型數(shù)組的默認排序算法了。所以不管是進階編程學習還是面試,理解 Timsort 是比較重要。
// List sort() default void sort(Comparator<? super E> c) { Object[] a = this.toArray(); //數(shù)組排序 Arrays.sort(a, (Comparator) c); ... } // Arrays.sort public static <T> void sort(T[] a, Comparator<? super T> c) { if (c == null) { sort(a); } else { // 廢棄版本 if (LegacyMergeSort.userRequested) legacyMergeSort(a, c); else TimSort.sort(a, 0, a.length, c, null, 0, 0); } } public static void sort(Object[] a) { if (LegacyMergeSort.userRequested) legacyMergeSort(a); else ComparableTimSort.sort(a, 0, a.length, null, 0, 0); }
前置知識
理解 Timsort 需要先回顧下面的知識。
指數(shù)搜索
指數(shù)搜索,也被稱為加倍搜索,是一種用于在大型數(shù)組中搜索元素而創(chuàng)建的算法。它是一個兩步走的過程。首先,該算法試圖找到目標元素存在的范圍 (L,R)
,然后在這個范圍內使用二叉搜索來尋找目標的準確位置。時間復雜度為O(lgn)。該搜索算法在大量有序數(shù)組中比較有效。
二分插入排序
插入排序算法很簡單,大體過程是從第二個元素開始,依次向前移動交換元素直到找到合適的位置。
插入排序最優(yōu)時間復雜度也要O(n) ,我們可以使用二分查找來減少插入時元素的比較次數(shù),將時間復雜度降為logn。但是注意,二分查找插入排序仍然需要移動相同數(shù)量的元素,但是復制數(shù)組的時間消耗低于逐一互換操作。
特點:二分插入排序主要優(yōu)點是在小數(shù)據(jù)集場景下排序效率很高。
public static int[] sort(int[] arr) throws Exception { // 開始遍歷第一個元素后的所有元素 for (int i = 1; i < arr.length; i++) { // 需要插入的元素 int tmp = arr[i]; // 從已排序最后一個元素開始,如果當前元素比插入元素大,就往后移動 int j = i; while (j > 0 && tmp < arr[j - 1]) { arr[j] = arr[j - 1]; j--; } // 將元素插入 if (j != i) { arr[j] = tmp; } } return arr; } public static int[] binarySort(int[] arr) throws Exception { for (int i = 1; i < arr.length; i++) { // 需要插入的元素 int tmp = arr[i]; // 通過二分查找直接找到插入位置 int j = Math.abs(Arrays.binarySearch(arr, 0, i, tmp) + 1); // 找到插入位置后,通過數(shù)組復制向后移動,騰出元素位置 System.arraycopy(arr, j, arr, j + 1, i - j); // 將元素插入 arr[j] = tmp; } return arr; }
歸并排序
歸并排序是利用分治策略的算法,包含兩個主要的操作:分割與合并。大體過程是,通過遞歸將數(shù)組不斷分成兩半,一直到無法再分割(也就是數(shù)組為空或只剩一個元素),然后進行合并排序。簡單來說合并操作就是不斷取兩個較小的排序數(shù)組然后將它們組合成一個更大的數(shù)組。
特點:歸并排序主要為大數(shù)據(jù)集場景設計的排序算法。
public static void mergeSortRecursive(int[] arr, int[] result, int start, int end) { // 跳出遞歸 if (start >= end) { return; } // 待分割的數(shù)組長度 int len = end - start; int mid = (len >> 1) + start; int left = start; // 左子數(shù)組開始索引 int right = mid + 1; // 右子數(shù)組開始索引 // 遞歸切割左子數(shù)組,直到只有一個元素 mergeSortRecursive(arr, result, left, mid); // 遞歸切割右子數(shù)組,直到只有一個元素 mergeSortRecursive(arr, result, right, end); int k = start; while (left <= mid && right <= end) { result[k++] = arr[left] < arr[right] ? arr[left++] : arr[right++]; } while (left <= mid) { result[k++] = arr[left++]; } while (right <= end) { result[k++] = arr[right++]; } for (k = start; k <= end; k++) { arr[k] = result[k]; } } public static int[] merge_sort(int[] arr) { int len = arr.length; int[] result = new int[len]; mergeSortRecursive(arr, result, 0, len - 1); return arr; }
Timsort 執(zhí)行過程
算法大體過程,如果數(shù)組長度小于指定閥值(MIN_MERGE)直接使用二分插入算法完成排序,否則執(zhí)行下面步驟:
- 先從數(shù)組左邊開始,執(zhí)行升序運行得到一個子序列。
- 將這個子序列放入運行堆棧里,等待執(zhí)行合并。
- 檢查運行堆棧里的子序列,如果滿足合并條件則執(zhí)行合并。
- 重復第一個步驟,執(zhí)行下一個升序運行。
升序運行
升序運行就是從數(shù)組查找一段連續(xù)遞增(升序)或遞減(降序)子序列的過程,如果子序列為降序則將它反轉為升序,也可以將這個過程簡稱為 run
。比如數(shù)組 [2,3,6,4,9,30],可以查找到三個子序列,[2,3,6]、[4,9]、[30],或說3個 run
。
幾個關鍵閥值
MIN_MERGE
這是個常數(shù)值,可以簡單理解為執(zhí)行歸并的最小閥值,如果整個數(shù)組長度小于它,就沒必要執(zhí)行那么復雜的排序,直接二分插入就行了。在 Tim Peter 的 C 實現(xiàn)中為 64,但實際經驗中設置為 32 效果更好,所以 java 里面此值為 32。
降序反轉時為保證穩(wěn)定性,相同元素不會被顛倒。
minrun
在合并序列的時候,如果 run
數(shù)量等于或者略小于 2 的冪次方的時候,合并效率最高;如果略大于 2 的冪次方,效率就會顯著降低。所以為了提高合并效率,需要盡量控制每個 run
的長度,通過定義一個 minrun 來表示每個 run
的最小長度,如果長度太短,就用二分插入排序把 run
后面的元素插入到前面的 run
里面。
一般在執(zhí)行排序算法之前,會先計算出這個 minrun(它是根據(jù)數(shù)據(jù)的特點來進行自我調整),minrun 會從32到64選擇一個數(shù)字,因此數(shù)據(jù)的大小除以 minrun 等于或略小于 2 的冪次方。比如長度是 65 ,那么 minrun 的值就是 33;如果長度是 165,minrun 就是 42。
看下 Java 里面的實現(xiàn),如果數(shù)據(jù)長度(n) < MIN_MERGE,則返回數(shù)據(jù)長度。如果數(shù)據(jù)長度恰好是 2 的冪次方,則返回MIN_MERGE/2
也就是16,否則返回一個MIN_MERGE/2 <= k <= MIN_MERGE范圍的值k,這樣可以使的 n/k 接近但嚴格小于 2 的冪次方。
private static int minRunLength(int n) { assert n >= 0; int r = 0; // 如果低位任何一位是1,就會變成1 while (n >= MIN_MERGE) { r |= (n & 1); n >>= 1; } return n + r; }
MIN_GALLOP
MIN_GALLOP 是為了優(yōu)化合并的過程設定的一個閾值,控制進入 GALLOP
模式中, GALLOP
模式放在后面講。
下面是 Timsort 執(zhí)行流程圖
運行合并
當棧里面的 run
滿足合并條件時,它就將棧里面相鄰的兩個run 進行合并。
合并條件
Timsort 為了執(zhí)行平衡合并(讓合并的 run 大小盡可能相同),制定了一個合并規(guī)則,對于在棧頂?shù)娜齻€run,分別用X、Y 和 Z 表示他們的長度,其中 X 在棧頂,它們必須始終維持一下的兩個規(guī)則:
一旦有其中的一個條件不被滿足,則將 Y 與 X 或 Z 中的較小者合并生成新的 run
,并再次檢查棧頂是否仍然滿足條件。如果不滿足則會繼續(xù)進行合并,直至棧頂?shù)娜齻€元素都滿足這兩個條件,如果只剩兩個run
,則滿足 Y > X 即可。
如下下圖例子
- 當 Z <= Y+X ,將 X+Y 合并,此時只剩下兩個run。
- 檢測 Y < X ,執(zhí)行合并,此時只剩下 X,則退出合并檢測。
我們看下 Java 里面的合并實現(xiàn)
private void mergeCollapse() { // 當存在兩個以上run執(zhí)行合并檢查 while (stackSize > 1) { // 表示 Y int n = stackSize - 2; // Z <= Y + X if (n > 0 && runLen[n-1] <= runLen[n] + runLen[n+1]) { // 如果 Z < X 合并Z+Y ,否則合并X+Y if (runLen[n - 1] < runLen[n + 1]) n--; // 合并相鄰的兩個run,也就是runLen[n] 和 runLen[n+1] mergeAt(n); } else if (runLen[n] <= runLen[n + 1]) { // Y <= X 合并 Y+X mergeAt(n); } else { // 滿足兩個條件,跳出循環(huán) break; } } }
合并內存開銷
原始歸并排序空間復雜度是 O(n)也就是數(shù)據(jù)大小。為了實現(xiàn)中間項,Timsort 進行了一次歸并排序,時間開銷和空間開銷都比 O(n)小。
優(yōu)化是為了盡可能減少數(shù)據(jù)移動,占用更少的臨時內存,先找出需要移動的元素,然后將較小序列復制到臨時內存,在按最終順序排序并填充到組合序列中。
比如我們需要合并 X [1, 2, 3, 6, 10] 和 Y [4, 5, 7, 9, 12, 14, 17],X 中最大元素是10,我們可以通過二分查找確定,它需要插入到 Y 的第 5個位置才能保證順序,而 Y 中最小元素是4,它需要插入到 X 中的第4個位置才能保證順序,那么就知道了[1, 2, 3] 和 [12, 14, 17] 不需要移動,我們只需要移動 [6, 10] 和 [4, 5, 7, 9],然后只需要分配一個大小為 2 臨時存儲就可以了。
合并優(yōu)化
在歸并排序算法中合并兩個數(shù)組需要一一比較每個元素,為了優(yōu)化合并的過程,設定了一個閾值 MIN_GALLOP,當B中元素向A合并時,如果A中連續(xù) MIN_GALLOP 個元素比B中某一個元素要小,那么就進入GALLOP模式。
根據(jù)基準測試,比如當A中連續(xù)7個以上元素比B中某一元素小時切入該模式效果才好,所以初始值為7。
當進入GALLOP模式后,搜索算法變?yōu)橹笖?shù)搜索,分為兩個步驟,比如想確定 A 中元素x在 B 中確定的位置
- 首先在 B 中找到合適的索引區(qū)間(2k−1,2k+1−1) 使得 x 元素在這個范圍內;
- 然后在第一步找到的范圍內通過二分搜索來找到對應的位置。
只有當一次運行的初始元素不是另一次運行的前七個元素之一時,馳騁才是有益的。這意味著初始閾值為 7。
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