現(xiàn)實世界中有幾個現(xiàn)象實例被認(rèn)為是統(tǒng)計性質(zhì)的（即天氣數(shù)據(jù)、銷售數(shù)據(jù)、財務(wù)數(shù)據(jù)等）。這意味著在某些情況下，我們已經(jīng)能夠開發(fā)出方法來幫助我們通過可以描述數(shù)據(jù)特征的數(shù)學(xué)函數(shù)來模擬自然。

“概率分布是一個數(shù)學(xué)函數(shù)，它給出了實驗中不同可能結(jié)果的發(fā)生概率。”

了解數(shù)據(jù)的分布有助于更好地模擬我們周圍的世界。它可以幫助我們確定各種結(jié)果的可能性，或估計事件的可變性。所有這些都使得了解不同的概率分布在數(shù)據(jù)科學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)中非常有價值。

1.均勻分布

最直接的分布是均勻分布。均勻分布是一種概率分布，其中所有結(jié)果的可能性均等。例如，如果我們擲一個公平的骰子，落在任何數(shù)字上的概率是 1/6。這是一個離散的均勻分布。

但是并不是所有的均勻分布都是離散的——它們也可以是連續(xù)的。它們可以在指定范圍內(nèi)取任何實際值。a 和 b 之間連續(xù)均勻分布的概率密度函數(shù) (PDF) 如下：

讓我們看看如何在 Python 中對它們進(jìn)行編碼：

import?numpy?as?np??
import?matplotlib.pyplot?as?plt?
from?scipy?import?stats?
?
#?for?continuous??
a?=?0?
b?=?50?
size?=?5000?
?
X_continuous?=?np.linspace(a,?b,?size)?
continuous_uniform?=?stats.uniform(loc=a,?scale=b)?
continuous_uniform_pdf?=?continuous_uniform.pdf(X_continuous)?
?
#?for?discrete?
X_discrete?=?np.arange(1,?7)?
discrete_uniform?=?stats.randint(1,?7)?
discrete_uniform_pmf?=?discrete_uniform.pmf(X_discrete)??
?
#?plot?both?tables?
fig,?ax?=?plt.subplots(nrows=1,?ncols=2,?figsize=(15,5))?
#?discrete?plot?
ax[0].bar(X_discrete,?discrete_uniform_pmf)?
ax[0].set_xlabel("X")?
ax[0].set_ylabel("Probability")?
ax[0].set_title("Discrete?Uniform?Distribution")?
#?continuous?plot?
ax[1].plot(X_continuous,?continuous_uniform_pdf)?
ax[1].set_xlabel("X")?
ax[1].set_ylabel("Probability")?
ax[1].set_title("Continuous?Uniform?Distribution")?
plt.show()

2.高斯分布

高斯分布可能是最常聽到也熟悉的分布。它有幾個名字：有人稱它為鐘形曲線，因為它的概率圖看起來像一個鐘形，有人稱它為高斯分布，因為首先描述它的德國數(shù)學(xué)家卡爾·高斯命名，還有一些人稱它為正態(tài)分布，因為早期的統(tǒng)計學(xué)家注意到它一遍又一遍地再次發(fā)生。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下：

σ 是標(biāo)準(zhǔn)偏差，μ 是分布的平均值。要注意的是，在正態(tài)分布中，均值、眾數(shù)和中位數(shù)都是相等的。

當(dāng)我們繪制正態(tài)分布的隨機(jī)變量時，曲線圍繞均值對稱——一半的值在中心的左側(cè)，一半在中心的右側(cè)。并且，曲線下的總面積為 1。

mu?=?0?
variance?=?1?
sigma?=?np.sqrt(variance)?
x?=?np.linspace(mu?-?3*sigma,?mu?+?3*sigma,?100)?
?
plt.subplots(figsize=(8,?5))?
plt.plot(x,?stats.norm.pdf(x,?mu,?sigma))?
plt.title("Normal?Distribution")?
plt.show()

對于正態(tài)分布來說。經(jīng)驗規(guī)則告訴我們數(shù)據(jù)的百分比落在平均值的一定數(shù)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差內(nèi)。這些百分比是：

68% 的數(shù)據(jù)落在平均值的一個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。
95% 的數(shù)據(jù)落在平均值的兩個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。
99.7% 的數(shù)據(jù)落在平均值的三個標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。

3.對數(shù)正態(tài)分布

對數(shù)正態(tài)分布是對數(shù)呈正態(tài)分布的隨機(jī)變量的連續(xù)概率分布。因此，如果隨機(jī)變量 X 是對數(shù)正態(tài)分布的，則 Y = ln(X) 具有正態(tài)分布。

這是對數(shù)正態(tài)分布的 PDF：

對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取正實數(shù)值。因此，對數(shù)正態(tài)分布會創(chuàng)建右偏曲線。

讓我們在 Python 中繪制它：

X?=?np.linspace(0,?6,?500)?
?
std?=?1?
mean?=?0?
lognorm_distribution?=?stats.lognorm([std],?loc=mean)?
lognorm_distribution_pdf?=?lognorm_distribution.pdf(X)?
?
fig,?ax?=?plt.subplots(figsize=(8,?5))?
plt.plot(X,?lognorm_distribution_pdf,?label="μ=0,?σ=1")?
ax.set_xticks(np.arange(min(X),?max(X)))?
?
std?=?0.5?
mean?=?0?
lognorm_distribution?=?stats.lognorm([std],?loc=mean)?
lognorm_distribution_pdf?=?lognorm_distribution.pdf(X)?
plt.plot(X,?lognorm_distribution_pdf,?label="μ=0,?σ=0.5")?
?
std?=?1.5?
mean?=?1?
lognorm_distribution?=?stats.lognorm([std],?loc=mean)?
lognorm_distribution_pdf?=?lognorm_distribution.pdf(X)?
plt.plot(X,?lognorm_distribution_pdf,?label="μ=1,?σ=1.5")?
?
plt.title("Lognormal?Distribution")?
plt.legend()?
plt.show()

4.泊松分布

泊松分布以法國數(shù)學(xué)家西蒙·丹尼斯·泊松的名字命名。這是一個離散的概率分布，這意味著它計算具有有限結(jié)果的事件——換句話說，它是一個計數(shù)分布。因此，泊松分布用于顯示事件在指定時期內(nèi)可能發(fā)生的次數(shù)。

如果一個事件在時間上以固定的速率發(fā)生，那么及時觀察到事件的數(shù)量（n）的概率可以用泊松分布來描述。例如，顧客可能以每分鐘 3 次的平均速度到達(dá)咖啡館。我們可以使用泊松分布來計算 9 個客戶在 2 分鐘內(nèi)到達(dá)的概率。

下面是概率質(zhì)量函數(shù)公式：

λ 是一個時間單位的事件率——在我們的例子中，它是 3。k 是出現(xiàn)的次數(shù)——在我們的例子中，它是 9。這里可以使用 Scipy 來完成概率的計算。

from?scipy?import?stats?

print(stats.poisson.pmf(k=9,?mu=3))?

輸出：

0.002700503931560479

泊松分布的曲線類似于正態(tài)分布，λ 表示峰值。

X?=?stats.poisson.rvs(mu=3,?size=500)?
?
plt.subplots(figsize=(8,?5))?
plt.hist(X,?density=True,?edgecolor="black")?
plt.title("Poisson?Distribution")?
plt.show()

5.指數(shù)分布

指數(shù)分布是泊松點過程中事件之間時間的概率分布。指數(shù)分布的概率密度函數(shù)如下：

λ 是速率參數(shù)，x 是隨機(jī)變量。

X?=?np.linspace(0,?5,?5000)?
?
exponetial_distribtuion?=?stats.expon.pdf(X,?loc=0,?scale=1)?
?
plt.subplots(figsize=(8,5))?
plt.plot(X,?exponetial_distribtuion)?
plt.title("Exponential?Distribution")?
plt.show()

6.二項分布

可以將二項分布視為實驗中成功或失敗的概率。有些人也可能將其描述為拋硬幣概率。

參數(shù)為 n 和 p 的二項式分布是在 n 個獨立實驗序列中成功次數(shù)的離散概率分布，每個實驗都問一個是 - 否問題，每個實驗都有自己的布爾值結(jié)果：成功或失敗。

本質(zhì)上，二項分布測量兩個事件的概率。一個事件發(fā)生的概率為 p，另一事件發(fā)生的概率為 1-p。

這是二項分布的公式：

P = 二項分布概率
= 組合數(shù)
x = n次試驗中特定結(jié)果的次數(shù)
p = 單次實驗中，成功的概率
q = 單次實驗中，失敗的概率
n = 實驗的次數(shù)

可視化代碼如下：

X?=?np.random.binomial(n=1,?p=0.5,?size=1000)?
?
plt.subplots(figsize=(8,?5))?
plt.hist(X)?
plt.title("Binomial?Distribution")?
plt.show()

7.學(xué)生 t 分布

學(xué)生 t 分布（或簡稱 t 分布）是在樣本量較小且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下估計正態(tài)分布總體的均值時出現(xiàn)的連續(xù)概率分布族的任何成員。它是由英國統(tǒng)計學(xué)家威廉·西利·戈塞特（William Sealy Gosset）以筆名“student”開發(fā)的。

PDF如下：

n 是稱為“自由度”的參數(shù)，有時可以看到它被稱為“d.o.f.” 對于較高的 n 值，t 分布更接近正態(tài)分布。

import?seaborn?as?sns?
from?scipy?import?stats?
?
X1?=?stats.t.rvs(df=1,?size=4)?
X2?=?stats.t.rvs(df=3,?size=4)?
X3?=?stats.t.rvs(df=9,?size=4)?
?
plt.subplots(figsize=(8,5))?
sns.kdeplot(X1,?label?=?"1?d.o.f")?
sns.kdeplot(X2,?label?=?"3?d.o.f")?
sns.kdeplot(X3,?label?=?"6?d.o.f")?
plt.title("Student's?t?distribution")?
plt.legend()?
plt.show()

8.卡方分布

卡方分布是伽馬分布的一個特例；對于 k 個自由度，卡方分布是一些獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的 k 的平方和。

PDF如下：

這是一種流行的概率分布，常用于假設(shè)檢驗和置信區(qū)間的構(gòu)建。

在 Python 中繪制一些示例圖：

X?=?np.arange(0,?6,?0.25)?
?
plt.subplots(figsize=(8,?5))?
plt.plot(X,?stats.chi2.pdf(X,?df=1),?label="1?d.o.f")?
plt.plot(X,?stats.chi2.pdf(X,?df=2),?label="2?d.o.f")?
plt.plot(X,?stats.chi2.pdf(X,?df=3),?label="3?d.o.f")?
plt.title("Chi-squared?Distribution")?
plt.legend()?
plt.show()