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C++詳解哈夫曼樹(shù)的概念與實(shí)現(xiàn)步驟

 更新時(shí)間:2022年04月24日 16:37:41   作者:BugMaker-shen  
給定N個(gè)權(quán)值作為N個(gè)葉子結(jié)點(diǎn),構(gòu)造一棵二叉樹(shù),若該樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度達(dá)到最小,稱這樣的二叉樹(shù)為最優(yōu)二叉樹(shù),也稱為哈夫曼樹(shù)(Huffman?Tree)。哈夫曼樹(shù)是帶權(quán)路徑長(zhǎng)度最短的樹(shù),權(quán)值較大的結(jié)點(diǎn)離根較近

一、基本概念

結(jié)點(diǎn)的權(quán): 有某種現(xiàn)實(shí)含義的數(shù)值

結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度: 從結(jié)點(diǎn)的根到該結(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度與該結(jié)點(diǎn)權(quán)值的乘積

樹(shù)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度: 樹(shù)上所有葉結(jié)點(diǎn)的帶權(quán)路徑長(zhǎng)度之和

哈夫曼樹(shù): 在含有 n n n個(gè)帶權(quán)葉結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)中, w p l wpl wpl 最小 的二叉樹(shù)稱為哈夫曼樹(shù),也稱最優(yōu)二叉樹(shù)(給定葉子結(jié)點(diǎn),哈夫曼樹(shù)不唯一)。

二、構(gòu)造哈夫曼樹(shù)

比較簡(jiǎn)單,此處不贅述步驟

三、哈夫曼樹(shù)的基本性質(zhì)

  • 每個(gè)初始結(jié)點(diǎn)最終都是葉結(jié)點(diǎn),且權(quán)值越小的結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)度越大
  • 具有 n n n個(gè)根結(jié)點(diǎn)的哈夫曼樹(shù)的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為 2 n − 1
  • 哈夫曼樹(shù)中不存在度為1的結(jié)點(diǎn)
  • 哈夫曼樹(shù)不唯一,但 w p l必然相同且最優(yōu)

四、哈夫曼編碼

目的:為給定的字符集合構(gòu)建二進(jìn)制編碼,使得編碼的期望長(zhǎng)度達(dá)到最短

在考試中,小渣利用哈夫曼編碼老渣發(fā)電報(bào)傳遞100道選擇題的答案,小渣傳遞了10個(gè)A、8個(gè)B、80個(gè)C、2個(gè)D,老渣利用哈夫曼編碼的方式解碼。

小渣構(gòu)造的哈夫曼樹(shù)如下:

可以發(fā)現(xiàn),A、B、C、D的編碼分別為10、111、0、110。

這樣小渣只要根據(jù)1~100題的答案順序發(fā)送01序列,老渣收到后進(jìn)行解碼就能正確收到答案了。而且哈夫曼編碼的方式不會(huì)有歧義,因?yàn)楣蚵幋a是一種前綴編碼。

前綴編碼: 沒(méi)有一個(gè)編碼是另一個(gè)編碼的前綴,因?yàn)閿?shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)都是葉子節(jié)點(diǎn)。如果出現(xiàn)一個(gè)字符的編碼是另一個(gè)字符編碼的前綴,那這個(gè)字符一定處于內(nèi)部節(jié)點(diǎn),這是不可能的

由哈夫曼樹(shù)得到的哈夫曼編碼: 字符集中的每個(gè)字符都是以葉子結(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在哈夫曼樹(shù)中,各個(gè)字符出現(xiàn)的頻率為結(jié)點(diǎn)的權(quán)值。

給字符串進(jìn)行編碼的時(shí)候,由于出現(xiàn)頻率越高(權(quán)值大)的字符距離根節(jié)點(diǎn)越進(jìn),編碼越短;只有出現(xiàn)頻率越低(權(quán)值?。┑淖址嚯x根節(jié)點(diǎn)較遠(yuǎn),編碼長(zhǎng)。沒(méi)關(guān)系,由于頻率高的字符編碼都短,所以哈夫曼編碼可以得到最短的編碼序列

五、哈夫曼解碼

哈夫曼編碼不同于ASCII和Unicode這些字符編碼,這些字符集中的碼長(zhǎng)都采用的是長(zhǎng)度相同的編碼方案,而哈夫曼編碼使用的是變長(zhǎng)編碼,而且哈夫曼編碼滿足立刻可解碼性(就是說(shuō)任一字符的編碼都不會(huì)是另一個(gè)更長(zhǎng)字符編碼的前綴),只要當(dāng)某個(gè)字符的編碼中所有位被全部接收時(shí),可以立即進(jìn)行解碼而無(wú)須等待后面接收的位來(lái)決定是否存在另一個(gè)合法的更長(zhǎng)的編碼

第一張表不滿足立刻可解碼性,第二張表滿足

我們接收100的時(shí)候,需要考慮是立刻解碼成D還是等待接收下一位,如果下一位是0就可以解碼成B,這就說(shuō)明表中的編碼不具有立刻可解碼性

第二張表就具有立刻可解碼性,因?yàn)槿我蛔址木幋a都不是另一個(gè)更長(zhǎng)字符編碼的前綴。只要收到的序列對(duì)應(yīng)了某個(gè)字符的編碼,直接解碼成對(duì)應(yīng)字符即可,無(wú)需等待后面的數(shù)據(jù)

我們的代碼實(shí)現(xiàn)是用字符串構(gòu)建哈夫曼樹(shù),只能針對(duì)由該字符串包含的字符組成的字符串進(jìn)行編解碼。代碼里使用字符串存儲(chǔ)的編碼,實(shí)際上應(yīng)該用bit進(jìn)行存儲(chǔ)

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <functional>
#include <unordered_map>
#include <queue>
using namespace std;
using uint = unsigned int;
class HuffmanTree {
public:
    // 這里的lambda表達(dá)式用來(lái)初始化function函數(shù)對(duì)象
    // priority_queue的構(gòu)造函數(shù)指出,如果傳入一個(gè)參數(shù),那這個(gè)參數(shù)用來(lái)初始化比較器對(duì)象
    // 如果傳入兩個(gè)參數(shù),第一個(gè)是比較器對(duì)象,第二個(gè)是底層容器
    HuffmanTree()
        :min_heap_([](Node* n1, Node* n2)->bool {return n1->weight_ > n2->weight_; })
        , root_(nullptr)
    {}
    ~HuffmanTree() {
        init();
        cout << "已釋放所有內(nèi)存!" << endl;
    }
    // 根據(jù)字符串創(chuàng)建哈夫曼樹(shù)
    void create(const string& str) {
        if (root_ != nullptr) {
            cout << "哈夫曼樹(shù)初始化..." << endl;
            init();
            cout << "初始化完成!" << endl;
        }
        // 統(tǒng)計(jì)頻率(權(quán)重)
        unordered_map<char, uint> w_map;
        for (char c : str) {
            w_map[c]++;
        }
        // 遍歷w_map,把所有的字符對(duì)應(yīng)的權(quán)重放入小根堆,按照權(quán)重排序
        for (pair<const char, uint>& p : w_map) {
            min_heap_.push(new Node(p.first, p.second));
        }
        // 根據(jù)優(yōu)先級(jí)隊(duì)列,從小根堆中取出節(jié)點(diǎn),構(gòu)建哈夫曼樹(shù)
        while (min_heap_.size() > 1) {
            Node* n1 = min_heap_.top();
            min_heap_.pop();
            Node* n2 = min_heap_.top();
            min_heap_.pop();
            Node* node = new Node('\0', n1->weight_ + n2->weight_);  // 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)存\0
            node->left_ = n1;
            node->right_ = n2;
            min_heap_.push(node);
        }
        root_ = min_heap_.top();
        min_heap_.pop();
        // 創(chuàng)建完哈夫曼樹(shù),直接對(duì)傳入的海量字符進(jìn)行編碼并存儲(chǔ)到code_map_
        create_huffman_code(str);
    }
    string get_code(const string& str) {
        // 利用哈夫曼樹(shù)對(duì)str編碼并返回
        string code;
        for (char c : str) {
            code += code_map_[c];
        }
        return code;
    }
    void show_huffman_code() const {
        // 打印哈夫曼編碼
        for (const auto& pair : code_map_) {
            cout << pair.first << " : " << pair.second << endl;
        }
    }
    string decode(const string& encode_str) {
        Node* cur = root_;
        string decode_str;
        for (char c : encode_str) {
            if (c == '0') {
                cur = cur->left_;
            }
            else {
                cur = cur->right_;
            }
            if (cur->left_ == nullptr && cur->right_ == nullptr) {
                // 到達(dá)葉子節(jié)點(diǎn)
                decode_str.push_back(cur->data_);
                cur = root_;
            }
        }
        return decode_str;
    }
    uint get_wpl() {
        if (root_ == nullptr) {
            return 0;
        }
        if (root_->left_ == nullptr && root_->right_ == nullptr) {
            // 對(duì)于葉子節(jié)點(diǎn),直接返回自己的weight * depth
            return root_->weight_ * 1;
        }
        else {
            // 對(duì)于內(nèi)部節(jié)點(diǎn),直接返回從子節(jié)點(diǎn)拿到的weight之和
            return get_w(root_->left_, 2) + get_w(root_->right_, 2);
        }
    }
private:
    struct Node {
        Node(char data, uint weight)
            :data_(data)
            , weight_(weight)
            , left_(nullptr)
            , right_(nullptr)
        {}
        char data_;
        uint weight_;
        Node* left_;
        Node* right_;
    };
private:
    // 防止當(dāng)前對(duì)象重新構(gòu)建哈夫曼樹(shù),釋放所有的節(jié)點(diǎn),然后初始化私有成員
    void init() {
        // 釋放哈夫曼樹(shù)的節(jié)點(diǎn)
        if (root_ != nullptr) {
            queue<Node*> q;
            q.push(root_);
            while (!q.empty()) {
                Node* node = q.front();
                q.pop();
                if (node->left_ != nullptr) {
                    q.push(node->left_);
                }
                if (node->right_ != nullptr) {
                    q.push(node->right_);
                }
                delete node;
            }
            MinHeap empty([](Node* n1, Node* n2)->bool {return n1->weight_ > n2->weight_; });
            swap(empty, min_heap_);
            code_map_.clear();
        }
    }
    void create_huffman_code(const string& str) {
        string code;
        create_huffman_code(root_, code);
    }
    void create_huffman_code(Node* node, string code) {
        if (node->left_ == nullptr && node->right_ == nullptr) {
            code_map_[node->data_] = code;
            return;
        }
        create_huffman_code(node->left_, code + "0");
        create_huffman_code(node->right_, code + "1");
    }
    uint get_w(Node* node, int depth) {
        if (node == nullptr) {
            return 0;
        }
        if (node->left_ == nullptr && node->right_ == nullptr) {
            // 對(duì)于葉子節(jié)點(diǎn),直接返回自己的weight * depth
            return node->weight_ * depth;
        }
        else {
            // 對(duì)于內(nèi)部節(jié)點(diǎn),直接返回從子節(jié)點(diǎn)拿到的weight之和
            return get_w(node->left_, depth + 1) + get_w(node->right_, depth + 1);
        }
    }
private:    
    Node* root_;
    unordered_map<char, string> code_map_;  // 存儲(chǔ)字符對(duì)應(yīng)的哈夫曼編碼
    using MinHeap = priority_queue<Node*, vector<Node*>, function<bool(Node*, Node*)>>;
    MinHeap min_heap_; // 構(gòu)建哈夫曼樹(shù)的時(shí)候使用小根堆
};
int main() {
    string str = "Aa";
    HuffmanTree htree;
    htree.create(str);
    htree.show_huffman_code();
    cout << htree.get_wpl() << endl;
    str = "ABC";
    htree.create(str);
    htree.show_huffman_code();
    cout << htree.get_wpl() << endl;;
    string encode = htree.get_code(str);
    cout << "encode:" << encode << endl;
    cout << "decode:" << htree.decode(encode) << endl;
    return 0;
}

六、文件的壓縮和解壓縮

我們利用哈夫曼編碼壓縮文件的時(shí)候,如果文件是100M,我們可以壓縮成20M,如果文件時(shí)1K,我們可能壓縮成2K,當(dāng)文件較小的時(shí)候,我們得到的壓縮文件反而更大了,這是為什么?

文件的壓縮過(guò)程如下:

  • 按字節(jié)讀取原文件的所有內(nèi)容,并統(tǒng)計(jì)字節(jié)數(shù)據(jù)的權(quán)值,構(gòu)建哈夫曼樹(shù)
  • 通過(guò)哈夫曼樹(shù),得到文件的哈夫曼編碼
  • 把文件的內(nèi)容按字節(jié)進(jìn)行編碼,將編碼內(nèi)容按bit存儲(chǔ)成壓縮文件,還要存儲(chǔ)文件字節(jié)數(shù)據(jù)以及權(quán)值

解碼的過(guò)程如下:

  • 讀取原始文件的字節(jié)數(shù)據(jù)以及權(quán)值,構(gòu)建哈夫曼樹(shù)
  • 讀取壓縮文件的01碼,利用哈夫曼樹(shù)對(duì)01進(jìn)行解碼,將解碼數(shù)據(jù)存儲(chǔ)成新的文件,就解碼出了原始文件

由于壓縮文件不僅存儲(chǔ)01碼,還需要存儲(chǔ)文件字節(jié)數(shù)據(jù)以及權(quán)值用來(lái)重建哈夫曼樹(shù)(就是代碼中的w_map)。當(dāng)原始文件較小時(shí),文件字節(jié)數(shù)據(jù)以及權(quán)值可能大于原始文件的大小,故小文件壓縮后可能變大

到此這篇關(guān)于C++詳解哈夫曼樹(shù)的概念與實(shí)現(xiàn)步驟的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C++哈夫曼樹(shù)內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!

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