期權(quán)是一種合約，它賦予買方在未來(lái)某個(gè)時(shí)間點(diǎn)以特定價(jià)格買賣資產(chǎn)的權(quán)利。 這些被稱為衍生品的合約的交易有多種原因，但一種常見的用法是來(lái)對(duì)沖當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格以不利方式變動(dòng)，所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)敞口。

期權(quán)，即買入或賣出的權(quán)利，也是有價(jià)格的。 Black Scholes 模型描述了一種確定期權(quán)公平價(jià)格的方法，但還有許多其他方法可以確定價(jià)格。

期權(quán)，及其價(jià)值

歐式期權(quán)只有在未來(lái)達(dá)到預(yù)定日期（稱為到期日）后才能使用（或行使），可以用字母 T 表示。

看漲期權(quán)賦予期權(quán)持有人以已知價(jià)格購(gòu)買的權(quán)利。 如果資產(chǎn)的到期價(jià)格（用 ST 表示）高于執(zhí)行價(jià)格 K ，則看漲期權(quán)會(huì)賺錢，否則就一文不值。

CT=max(0,ST−K)

同樣，看跌期權(quán)是出售資產(chǎn)的權(quán)利。 當(dāng)資產(chǎn)在到期日價(jià)格ST低于執(zhí)行價(jià)格K時(shí)，看跌期權(quán)會(huì)賺錢，否則就一文不值。

PT=max(0,K−ST)

以下是到期時(shí)看跌期權(quán)和看漲期權(quán)的收益圖。 我們的資產(chǎn)價(jià)格是 x 軸，收益是 y 軸。

風(fēng)險(xiǎn)中性估值

為了使用蒙特卡羅模擬為期權(quán)定價(jià)，我們使用風(fēng)險(xiǎn)中性估值，其中衍生品的公允價(jià)值是其未來(lái)收益的預(yù)期價(jià)值。

因此，在到期前的任何日期，用 t 表示，期權(quán)的價(jià)值是其到期收益預(yù)期的現(xiàn)值 T 。

Ct=PV(E[max(0,ST−K)])

Pt=PV(E[max(0,K−ST)])

在風(fēng)險(xiǎn)中性估值下，我們假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將平均獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 因此，要計(jì)算任何時(shí)間 t 的期權(quán)收益，我們要按該利率對(duì)收益進(jìn)行貼現(xiàn)。 現(xiàn)在我們有一種計(jì)算現(xiàn)值 PV 的方法。

上面的公式中，除了St ，所有這些變量都是已知的，因此St是我們的模擬將提供的。

為了給期權(quán)定價(jià)，我們將創(chuàng)建一個(gè)模擬，為資產(chǎn) St 最終價(jià)格提供許多觀察結(jié)果。 通過(guò)平均所有的回報(bào)，我們得到了對(duì)回報(bào)的期望值。

模擬資產(chǎn)價(jià)格

Black Scholes 模型中使用的股票價(jià)格行為模型假設(shè)我們有一個(gè)已知的波動(dòng)性，我們有一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，并且資產(chǎn)的價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

幾何布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，其中隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布。 這種類型的過(guò)程通過(guò)對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)分配價(jià)格。

所以現(xiàn)在我們有一個(gè)計(jì)算時(shí)間 T 時(shí)刻資產(chǎn)價(jià)格的方法：

為此，我們需要知道：

r 是我們要貼現(xiàn)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。 σ 是波動(dòng)率，即股票回報(bào)的年化標(biāo)準(zhǔn)差。 (T-t) 給了我們年化的到期時(shí)間。 例如，對(duì)于 30 天選項(xiàng)，這將是 30/365=0.082... S 是在時(shí)間 t 標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。 ? 是我們的隨機(jī)值。 它的分布必須是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)（均值為 0.0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1.0）

期權(quán)定價(jià)

為了在模擬過(guò)程中為期權(quán)定價(jià)，我們生成資產(chǎn)可能在到期時(shí)的許多價(jià)格，計(jì)算每個(gè)生成價(jià)格的期權(quán)收益，將它們平均，然后對(duì)最終價(jià)值進(jìn)行貼現(xiàn)。

在創(chuàng)建完整模擬之前，我們將通過(guò)一個(gè)包含10次運(yùn)行的小示例。假設(shè)我們有一個(gè)具有以下價(jià)值的資產(chǎn)：S = 100.00 美元和 σ = 20%，我們想為半年到期的看漲期權(quán)定價(jià)，執(zhí)行價(jià)為 110.00 美元，我們的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是 1%。

將折扣收益值平均，得出我們的看漲期權(quán)價(jià)格為 2.38 美元。 我們執(zhí)行的模擬越多，價(jià)格就越準(zhǔn)確。

現(xiàn)在我們可以看到模擬如何生成價(jià)格，讓我們構(gòu)建一個(gè)可以為期權(quán)定價(jià)的小型 Python 腳本，看看它是否與真實(shí)情況相符。 讓我們看一下實(shí)際的例子。

為真實(shí)期權(quán)定價(jià)

在下圖中，我們有一個(gè)谷歌看漲期權(quán)的報(bào)價(jià)，行使價(jià)為 860.00 美元，將于 2013 年 9 月 21 日到期。我們還可以看到它的最后交易價(jià)格是14.50 美元。這個(gè)例子給了我們嘗試定價(jià)時(shí)，期權(quán)的一個(gè)目標(biāo)價(jià)格。

此處未指定的是波動(dòng)性、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、當(dāng)前的股票價(jià)格。 波動(dòng)率是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的話題，因此就本文而言，我們將假設(shè)我們知道該特定期權(quán)的波動(dòng)率為 20.76%。而股票當(dāng)前價(jià)格可以通過(guò)查看各種來(lái)源找到，為857.29 美元。

對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，我們可以使用與我們選擇的到期時(shí)間相同的美國(guó) LIBOR 利率； 我們的期權(quán)在大約三周后到期，由于沒(méi)有三周利率，我們將使用兩周利率來(lái)近似，即 0.14%。

接下來(lái)是Python代碼的實(shí)現(xiàn)，首先我們將寫下我們將如何生成資產(chǎn)價(jià)格。

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

我們知道所有的輸入值，所以我們可以像這樣設(shè)定它們：

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0

print generate_asset_price(S,v,r,T)
>>> 862.1783726682384

現(xiàn)在我們需要能夠計(jì)算這個(gè)生成價(jià)格的回報(bào)。 回想一下之前我們說(shuō)過(guò)看漲期權(quán)在到期時(shí)價(jià)值是 ST-K 或 0，我們將其表示為一個(gè)函數(shù)，并應(yīng)用于我們生成的資產(chǎn)價(jià)格。

def call_payoff(S_T, K):
    return max(S_T - K, 0.0)

print call_payoff(862.18, 860)
>>> 2.1799999999

完整的模擬

現(xiàn)在讓我們將各模塊代組合，并為 Google 期權(quán)定價(jià)。

import datetime
from random import gauss
from math import exp, sqrt

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

def call_payoff(S_T,K):
    return max(0.0,S_T-K)

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0
K = 860.
simulations = 90000
payoffs = []
discount_factor = math.exp(-r * T)

for i in xrange(simulations):
    S_T = generate_asset_price(S,v,r,T)
    payoffs.append(
        call_payoff(S_T, K)
    )

price = discount_factor * (sum(payoffs) / float(simulations))
print 'Price: %.4f' % price

程序運(yùn)行結(jié)果如下，這與我們?cè)谑袌?chǎng)上觀察到的此 Google 期權(quán)的價(jià)格相匹配。

Price: 14.5069

需要注意的是，我們剛剛計(jì)算的谷歌期權(quán)實(shí)際上是一個(gè)美式期權(quán)，我們只是把它定價(jià)成歐式期權(quán)，沒(méi)有考慮期權(quán)可以提前行權(quán)的可能性，盡管如此，我們?nèi)匀坏贸隽苏_的價(jià)格。

這是因?yàn)?，非派息股票（例如文中舉例的 Google）的美式看漲期權(quán)的價(jià)格與歐式看漲期權(quán)的價(jià)格相同。理論上，當(dāng)股票不支付股息時(shí)，提前行權(quán)并不是最佳選擇。 如果期權(quán)永遠(yuǎn)不會(huì)提前行權(quán)，那么美式期權(quán)的價(jià)格可以像歐式期權(quán)一樣進(jìn)行計(jì)算。

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