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python實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬法的實(shí)踐

更新時(shí)間：2022年03月04日 09:43:38 作者：洋洋菜鳥

?蒙特卡洛就是產(chǎn)生隨機(jī)變量，帶入模型算的結(jié)果，尋優(yōu)方面，本文主要介紹了python 蒙特卡羅模擬法實(shí)現(xiàn)，文中通過示例代碼介紹的非常詳細(xì)，具有一定的參考價(jià)值，感興趣的小伙伴們可以參考一下

1.簡(jiǎn)介

蒙特卡洛又稱隨機(jī)抽樣或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，就是產(chǎn)生隨機(jī)變量，帶入模型算的結(jié)果，尋優(yōu)方面，只要模擬次數(shù)夠多，最終是可以找到最優(yōu)解或接近最優(yōu)的解。

通常蒙特卡羅方法可以粗略地分成兩類：一類是所求解的問題本身具有內(nèi)在的隨機(jī)性，借助計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力可以直接模擬這種隨機(jī)的過程。例如在核物理研究中，分析中子在反應(yīng)堆中的傳輸過程。中子與原子核作用受到量子力學(xué)規(guī)律的制約，人們只能知道它們相互作用發(fā)生的概率，卻無法準(zhǔn)確獲得中子與原子核作用時(shí)的位置以及裂變產(chǎn)生的新中子的行進(jìn)速率和方向?？茖W(xué)家依據(jù)其概率進(jìn)行隨機(jī)抽樣得到裂變位置、速度和方向，這樣模擬大量中子的行為后，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)就能獲得中子傳輸?shù)姆秶?，作為反?yīng)堆設(shè)計(jì)的依據(jù)。
另一種類型是所求解問題可以轉(zhuǎn)化為某種隨機(jī)分布的特征數(shù)，比如隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者隨機(jī)變量的期望值。通過隨機(jī)抽樣的方法，以隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率估計(jì)其概率，或者以抽樣的數(shù)字特征估算隨機(jī)變量的數(shù)字

2.實(shí)例分析

2.1 模擬求近似圓周率

繪制單位圓和外接正方形，正方形ABCD的面積為：2*2=4，圓的面積為：S=Π*1*1=Π，現(xiàn)在模擬產(chǎn)生在正方形ABCD中均勻分布的點(diǎn)n個(gè)，如果這n個(gè)點(diǎn)中有m個(gè)點(diǎn)在該圓內(nèi)，則圓的面積與正方形ABCD的面積之比可近似為m/n

程序如下：

#模擬求近似圓周率
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#解決圖標(biāo)題中文亂碼問題
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默認(rèn)字體
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解決保存圖像是負(fù)號(hào)'-'顯示為方塊的問題
#進(jìn)入正題
r=random.random()
num=range(0,200000,10)
mypi=np.ones((1,len(num)))
for j in range(len(num)):
    # 投點(diǎn)次數(shù)
    n = 10000
    # 圓的半徑、圓心
    r = 1.0
    a,b = (0.,0.)
    # 正方形區(qū)域
    x_min, x_max = a-r, a+r
    y_min, y_max = b-r, b+r
    # 在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)
    x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) #均勻分布
    y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)
    #計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離
    d = np.sqrt((x-a)**2 + (y-b)**2)
    #統(tǒng)計(jì)落在圓內(nèi)點(diǎn)的數(shù)目
    res = sum(np.where(d < r, 1, 0))
    #計(jì)算pi的近似值（Monte Carlo:用統(tǒng)計(jì)值去近似真實(shí)值）
    mypi[0,j] = 4 * res / n
plt.plot(range(1,len(mypi[0])+1),mypi[0],'.-') 
plt.grid(ls=":",c='b',)#打開坐標(biāo)網(wǎng)格
plt.axhline(y=np.pi,ls=":",c="yellow")#添加水平直線
# plt.axvline(x=4,ls="-",c="green")#添加垂直直線
plt.legend(['模擬', '實(shí)際'], loc='upper right', scatterpoints=1)
plt.title("近似圓周率")
plt.show()

返回：

2.2 估算定積分

程序如下：

#估算定積分
import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#解決圖標(biāo)題中文亂碼問題
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默認(rèn)字體
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解決保存圖像是負(fù)號(hào)'-'顯示為方塊的問題
#進(jìn)入正題
r=random.random()
num=range(1,10**6,500)
s = np.ones((1,len(num)))
for j in range(len(num)):
    n = 30000
    #矩形邊界區(qū)域
    x_min, x_max = 0.0, 1.0
    y_min, y_max = 0.0, 1.0
    #在矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)x
    x = np.random.uniform(x_min, x_max, n)#均勻分布
    y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)
    #統(tǒng)計(jì)落在函數(shù)y=x^2下方的點(diǎn)
    res = sum(np.where(y < x**2, 1 ,0))
    #計(jì)算定積分的近似值
    s[0,j] = res / n
plt.plot(range(1,len(s[0])+1),s[0],'.-') 
plt.grid(ls=":",c='b',)#打開坐標(biāo)網(wǎng)格
plt.axhline(y=1/3,ls=":",c="red")#添加水平直線
# plt.axvline(x=4,ls="-",c="green")#添加垂直直線
plt.legend(['模擬', '實(shí)際1/3'], loc='upper right', scatterpoints=1)
plt.title("估算定積分")
plt.show()

返回：

2.3 求解整數(shù)規(guī)劃

要解的方程為：

條件如下：

程序如下：

# 求解整數(shù)規(guī)劃
import random
import numpy as np
import time
import matplotlib.pyplot as plt
#解決圖標(biāo)題中文亂碼問題
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默認(rèn)字體
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解決保存圖像是負(fù)號(hào)'-'顯示為方塊的問題
#進(jìn)入正題
time_start=time.time() #計(jì)時(shí)開始
p0=0
for i in range(10**7):
    x=np.random.randint(0,99,(1,3))
    f=2*x[0,0]+3*x[0,0]**2+3*x[0,1]+x[0,1]**2+x[0,2]
    g=[
        x[0,0]+2*x[0,0]**2+x[0,1]+2*x[0,1]**2+x[0,2],
        x[0,0]+x[0,0]**2+x[0,1]+x[0,1]**2-x[0,2],
        2*x[0,0]+x[0,0]**2+2*x[0,1]+x[0,2],
        x[0,0]+2*x[0,1]**2
    ]
    if g[0]<=100 and g[1]<=500 and g[2]<=400 and g[3]>=10:
        if p0<f:
            x0=x
            p0=f
print('最優(yōu)解：',x0)
print('最優(yōu)值：',p0)
time_end=time.time() #計(jì)時(shí)結(jié)束
print('用時(shí)：',time_end-time_start)

返回：