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關于C++中二分法詳解

更新時間：2022年02月03日 10:24:58 作者：時間最考驗人

大家好，本篇文章主要講的是關于C++中二分法詳解，感興趣的同學趕快來看一看吧，對你有幫助的話記得收藏一下

一、整數二分

單調性與二分的關系：有單調性一定可以二分，用二分不一定是單調性。二分的本質不是單調性而是邊界點（找符合條件的最小的數或者最大的數）整數二分是求紅色范圍的右端點或者綠色范圍的左端點

在這里插入圖片描述

1.整數二分模板

bool check(int x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某種性質

// 區(qū)間[l, r]被劃分成[l, mid]和[mid + 1, r]時使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判斷mid是否滿足性質
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 區(qū)間[l, r]被劃分成[l, mid - 1]和[mid, r]時使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

【模板1】

1、求紅色邊界點

在這里插入圖片描述

注： + 1原因：

/ 是向下取整，當l與r只相差1的時候，即 l = r - 1，最終的結果mid = l（即結果不變還是l）,補上1之后 mid = r，再次循環(huán)之后l = r 即[r , r]，最終結束循環(huán)。如果不補1將會出現死循環(huán)。

【模板2】

求綠色邊界點

在這里插入圖片描述

2.求解二分問題的思路

每次先劃分區(qū)間，寫一個mid，后面再考慮是否補上加1操作然后想一個check()函數，康康是否滿足性質，根據check()函數的值取判斷怎么劃分(mid在哪一邊)，到底是是l = mid，還是r = mid，第一種補上1即可。（關鍵是找性質，判斷是否滿足性質然后判斷mid在左邊還是右邊）

3.練習

(1).數的范圍

給定一個按照升序排列的長度為 nn 的整數數組，以及 qq 個查詢。

對于每個查詢，返回一個元素 kk 的起始位置和終止位置（位置從 00 開始計數）。

如果數組中不存在該元素，則返回 -1 -1。

輸入格式

第一行包含整數 n 和 q，表示數組長度和詢問個數。

第二行包含 nn 個整數（均在 1∼10000 范圍內），表示完整數組。

接下來 q行，每行包含一個整數 k，表示一個詢問元素。

輸出格式

共 q 行，每行包含兩個整數，表示所求元素的起始位置和終止位置。

如果數組中不存在該元素，則返回 -1 -1。

數據范圍

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

輸入樣例：
6 31 2 2 3 3 4345
輸出樣例：
3 45 5-1 -1

思路：

在這里插入圖片描述

【參考代碼】

#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 100000+10;
int q[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin>> n >> m;
    
    for(int i = 0; i < n; i++) cin>>q[i];
    while(m--)
    {
      int x;
      cin>> x;
      // 尋找起始位置
      int l = 0, r = n - 1;
      while(l < r)
      {
          int mid =(l + r)/2;
          if(q[mid] >= x) r = mid;
          else l = mid + 1;
      }
      if(q[l] != x) cout<<"-1 -1"<<endl;
      else{
          cout<<l<<" ";
          // 尋找終點位置
          int l = 0, r = n - 1;
          while(l<r)
          {
              int mid = (l + r + 1)/2;
              if(q[mid] <= x) l = mid;
              else r = mid - 1;
          }
          
          cout<< l << endl;
      }
       
    }
    return 0;
}

(2).0到n-1中缺失的數字

(二分) O(logn)
這道題目給定的是遞增數組，假設數組中第一個缺失的數是 x，那么數組中的數如下所示；

在這里插入圖片描述

從中可以看出，數組左邊藍色部分都滿足nums[i] == i，數組右邊橙色部分都不滿足nums[i] == i，因此我們可以二分出分界點 x 的值。

另外要注意特殊情況：當所有數都滿足nums[i] == i時，表示缺失的是 n。

時間復雜度分析
二分中的迭代只會執(zhí)行 O(logn) 次，因此時間復雜度是O(logn)。

在這里插入圖片描述

class Solution {
public:
    int getMissingNumber(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0) return 0;
        int l = 0, r = nums.size() - 1;
        while(l < r)
        {
            int mid = (l + r)/2;
            if(nums[mid] != mid) r = mid; //在紅色半邊(滿足條件)
            else l = mid + 1;
        }
        
        //缺的是n這個數
        if(nums[r] == r) r++;
        
        return r;
        
    }
};

二、浮點數二分

1.浮點數二分模板

浮點數二分算法模板 —— 模板題 AcWing 790. 數的三次方根
bool check(double x) {/* ... */} // 檢查x是否滿足某種性質（包含了計算和條件）

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取決于題目對精度的要求(一般比題目要求的大2)
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

注：與整數二分的最大區(qū)別是，else那里的條件l = mid不進行+1或者-1，浮點數沒有整除（/ 下取整）這種問題，不需要處理邊界。

2.練習

(1).數的三次方跟

給定一個浮點數 n，求它的三次方根。

輸入格式

共一行，包含一個浮點數 n。

輸出格式

共一行，包含一個浮點數，表示問題的解。

注意，結果保留 6 位小數。

數據范圍

−10000≤n≤10000

輸入樣例：
1000.00
輸出樣例：
10.000000

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{   
    double n;
    cin>>n;
    
    double l = -10000, r = 10000;
     // eps 表示精度，取決于題目對精度的要求(保險1e-8)
    const double eps = 1e-8;  
    while(r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= n) r = mid;
        else l = mid;
    }
    
     printf("%.6lf\n", l);
    return 0;
    
}

(2).一元三次方程求解

在這里插入圖片描述

提示：記方程f(x)=0，若存在2個數x1和x2，且f(x1)*f(x2)<0，則在(x1,x2)之間一定有一個根。

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

double a, b, c, d;// 全局變量方便在cal中使用
const double eps = 1e-6;// 定義精度

//計算一元三次方程
double cal(double x)
{
    return a*x*x*x + b*x*x + c*x + d;
}
int main()
{
    cin>>a>>b>>c>>d;
    
    //枚舉根
    for(int i = -100; i <= 100; i++)
    {
        //根與根之差的絕對值 ≥1
        double l = double(i), r = double(i + 1);// 細節(jié):要將l,r轉為double
        if(cal(l) == 0) printf("%.2lf ", l); //若f(x) = 0，根即為x 
        
        //f(x1)×f(x2) < 0 根在（x1,x2）之間—— 浮點二分
        else if(cal(l) * cal(r) < 0)
        {
            while(r - l > eps)
            {
                //x1 < x，f(x1)×f(x2)<0，則在(x1, x2)之間一定有一個根
                double mid = (l + r)/2;
                // check()條件
                if(cal(l) * cal(mid) <= 0) r = mid;
                else l = mid;
            }
            
            printf("%.2lf ", l);
        }
    }
}

在這里插入圖片描述

【參考代碼】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double check(double x)
{
    return 7*x*x*x*x + 5*x*x*x + 11*x + 6;
} 
double erfen(double Y)
{
    double l=0.0, r=99.0, mid;
    while(r - l > 1e-6){
        mid = (l + r)/2;
        if(check(mid) > Y) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return mid;
}
int main()
{
    double Y;
    while(~scanf("%lf", &Y)){
        if(Y < 6 || Y > 677269824)
            puts("None");
        else
        printf("%.4f\n", erfen(Y));
    }
    return 0;
}