二維離散傅里葉變換（DFT）

對(duì)于二維圖像處理，通常使用 x , y x, yx,y 表示離散的空間域坐標(biāo)變量，用 u , v u,vu,v 表示離散的頻率域變量。二維離散傅里葉變換（DFT）和反變換（IDFT）為：

二維離散傅里葉變換也可以用極坐標(biāo)表示：

傅里葉頻譜（Fourier spectrum）為：

傅里葉相位譜（Fourier phase spectrum）為：

傅里葉功率譜（Fourier power spectrum）為：

空間取樣和頻率間隔是相互對(duì)應(yīng)的，頻率域所對(duì)應(yīng)的離散變量間的間隔為：Δu=1/MΔT, Δυ=1/NΔZ。即：頻域中樣本之間的間隔，與空間樣本之間的間隔及樣本數(shù)量的乘積成反比。

空間域?yàn)V波器和頻率域?yàn)V波器也是相互對(duì)應(yīng)的，二維卷積定理是在空間域和頻率域?yàn)V波之間建立等價(jià)關(guān)系的紐帶：

這表明 F 和 H 分別是 f 和 h 的傅里葉變換；f 和 h 的空間卷積的傅里葉變換，是它們的變換的乘積。

OpenCV 實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換（cv.dft）

使用 OpenCV 中的 cv.dft() 函數(shù)也可以實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換，cv.idft() 函數(shù)實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉逆變換。

函數(shù)說明：

cv.dft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst
cv.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst

參數(shù)說明：

src：輸入圖像，單通道灰度圖像，使用 np.float32 格式

dst：輸出圖像，圖像大小與 src 相同，數(shù)據(jù)類型由 flag 決定

flag：轉(zhuǎn)換標(biāo)識(shí)符

cv.DFT_INVERSE：用一維或二維逆變換取代默認(rèn)的正向變換

cv.DFT_SCALE：縮放比例標(biāo)識(shí)，根據(jù)元素?cái)?shù)量求出縮放結(jié)果，常與DFT_INVERSE搭配使用

cv.DFT_ROWS: 對(duì)輸入矩陣的每行進(jìn)行正向或反向的傅里葉變換，常用于三維或高維變換等復(fù)雜操作

cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT：對(duì)一維或二維實(shí)數(shù)數(shù)組進(jìn)行正向變換，默認(rèn)方法，結(jié)果是由 2個(gè)通道表示的復(fù)數(shù)陣列，第一通道是實(shí)數(shù)部分，第二通道是虛數(shù)部分

cv.DFT_REAL_OUTPUT：對(duì)一維或二維復(fù)數(shù)數(shù)組進(jìn)行逆變換，結(jié)果通常是一個(gè)尺寸相同的復(fù)數(shù)矩陣

注意事項(xiàng)：

1.輸入圖像 src 是 np.float32 格式，如圖像使用 np.uint8 格式則必須先轉(zhuǎn)換 np.float32 格式。

2.默認(rèn)方法 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 時(shí)，輸入 src 是 np.float32 格式的單通道二維數(shù)組，輸出 dst 是 2個(gè)通道的二維數(shù)組，第一通道 dft[:,:,0] 是實(shí)數(shù)部分，第二通道 dft[:,:,1] 是虛數(shù)部分。

3.不能直接用于顯示圖像?？梢允褂?cv.magnitude() 函數(shù)將傅里葉變換的結(jié)果轉(zhuǎn)換到灰度 [0,255]。

4.idft(src, dst, flags) 等價(jià)于 dft(src, dst, flags=DFT_INVERSE)。

5.OpenCV 實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，計(jì)算速度比 Numpy 更快。

轉(zhuǎn)換標(biāo)識(shí)符為 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 時(shí)，cv.dft() 函數(shù)的輸出是 2個(gè)通道的二維數(shù)組，使用 cv.magnitude() 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算二維矢量的幅值 。

函數(shù)說明：

cv.magnitude(x, y[, magnitude]) → dst

參數(shù)說明：

x：一維或多維數(shù)組，也表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，浮點(diǎn)型

y：一維或多維數(shù)組，也表示復(fù)數(shù)的虛部，浮點(diǎn)型，數(shù)組大小必須與 x 相同

dst：輸出數(shù)組，數(shù)組大小和數(shù)據(jù)類型與 x 相同，運(yùn)算公式為：

傅里葉變換及相關(guān)操作的取值范圍可能不適于圖像顯示，需要進(jìn)行歸一化處理。 OpenCV 中的 cv.normalize() 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)圖像的歸一化。

函數(shù)說明：

cv.normalize(src, dst[, alpha[, beta[, norm_type[, dtype[, mask]]]]]) → dst

參數(shù)說明：

src：輸入圖像

dst：輸出結(jié)果，與輸入圖像同尺寸同類型

alpha：歸一化后的最小值，可選項(xiàng)，默認(rèn)值為0

beta：歸一化后的最大值，可選項(xiàng)，默認(rèn)值為1

norm_type：歸一化類型

• NORM_INF：Linf 范數(shù)（絕對(duì)值的最大值）
• NORM_L1：L1 范數(shù)（絕對(duì)值的和）
• NORM_L2：L2 范數(shù)（歐幾里德距離），默認(rèn)類型
• NORM_MINMAX：線性縮放，常用類型

dtype：可選項(xiàng)，默認(rèn)值 -1，表示輸出矩陣與輸入圖像類型相同

mask：掩模遮罩，可選項(xiàng)，默認(rèn)無遮罩

傅里葉變換在理論上需要O(MN)²次運(yùn)算，非常耗時(shí)；快速傅里葉變換只需要O(MN㏒(MN)) 次運(yùn)算就可以完成。

OpenCV 中的傅里葉變換函數(shù) cv.dft() 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)都可以分解為2^p*3^q*5^r的矩陣的計(jì)算性能最好。為了提高運(yùn)算性能，可以對(duì)原矩陣的右側(cè)和下方補(bǔ) 0，以滿足該分解條件。OpenCV 中的 cv.getOptimalDFTSize() 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)圖像的最優(yōu) DFT 尺寸擴(kuò)充，適用于 cv.dft() 和 np.fft.fft2()。

函數(shù)說明：

cv.getOptimalDFTSize(versize) → retval

參數(shù)說明：

versize：數(shù)組大小

retval：DFT 擴(kuò)充的最優(yōu)數(shù)組大小

示例代碼

    # 8.11：OpenCV 實(shí)現(xiàn)二維圖像的離散傅里葉變換
    imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0)  # flags=0 讀取為灰度圖像

    # cv2.dft 實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換
    imgFloat32 = np.float32(imgGray)  # 將圖像轉(zhuǎn)換成 float32
    dft = cv2.dft(imgFloat32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 傅里葉變換
    dftShift = np.fft.fftshift(dft)  # 將低頻分量移動(dòng)到頻域圖像的中心

    # 幅度譜
    # ampSpe = np.sqrt(np.power(dft[:,:,0], 2) + np.power(dftShift[:,:,1], 2))
    dftAmp = cv2.magnitude(dft[:,:,0], dft[:,:,1])  # 幅度譜，未中心化
    dftShiftAmp = cv2.magnitude(dftShift[:,:,0], dftShift[:,:,1])  # 幅度譜，中心化
    dftAmpLog = np.log(1 + dftShiftAmp)  # 幅度譜對(duì)數(shù)變換，以便于顯示
    # 相位譜
    phase = np.arctan2(dftShift[:,:,1], dftShift[:,:,0])  # 計(jì)算相位角(弧度制)
    dftPhi = phase / np.pi*180  # 將相位角轉(zhuǎn)換為 [-180, 180]

    print("dftMag max={}, min={}".format(dftAmp.max(), dftAmp.min()))
    print("dftPhi max={}, min={}".format(dftPhi.max(), dftPhi.min()))
    print("dftAmpLog max={}, min={}".format(dftAmpLog.max(), dftAmpLog.min()))

    # cv2.idft 實(shí)現(xiàn)圖像的逆傅里葉變換
    invShift = np.fft.ifftshift(dftShift)  # 將低頻逆轉(zhuǎn)換回圖像四角
    imgIdft = cv2.idft(invShift)  # 逆傅里葉變換
    imgRebuild = cv2.magnitude(imgIdft[:,:,0], imgIdft[:,:,1])  # 重建圖像

    plt.figure(figsize=(9, 6))
    plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')
    plt.imshow(imgGray, cmap='gray')
    plt.subplot(232), plt.title("DFT Phase"), plt.axis('off')
    plt.imshow(dftPhi, cmap='gray')
    plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IDFT"), plt.axis('off')
    plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')
    plt.subplot(234), plt.title("DFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')
    plt.imshow(dftAmp, cmap='gray')
    plt.subplot(235), plt.title("DFT-shift amplitude"), plt.axis('off')
    plt.imshow(dftShiftAmp, cmap='gray')
    plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of DFT amp"), plt.axis('off')
    plt.imshow(dftAmpLog, cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

到此這篇關(guān)于Python OpenCV實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python OpenCV傅里葉變換內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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