一、時間復雜度和空間復雜度是什么？

1.1算法效率定義

算法效率分為兩種，一種是時間效率——時間復雜度，另一種是空間效率——空間復雜度

1.2時間復雜度概念

時間復雜度，簡言之就是你寫一個代碼，它解決一個問題上需要走多少步驟，需要花費多長時間。打個簡單的比方：現(xiàn)在給10個數(shù)，要求找到7在哪里1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。我們要求寫一個代碼，同學狗蛋寫了一個暴力查找，從第一個數(shù)依次往后遍歷，他的算法要找7次，同學狗剩寫了一個二分法查找，只要找2次，這就是時間復雜度的比較
算法中的基本操作的執(zhí)行次數(shù)，為算法的時間復雜度

1.3空間復雜度概念

空間復雜度，是對一個算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的量度。舉個栗子：我們現(xiàn)在要求寫一個代碼，狗蛋啪啪啪敲了一大堆變量，程序運行了，狗剩就用了很少的變量，程序也運行了。但是他們兩個在代碼運行中變量多少不同，占用的內存多少是不一樣的?？臻g復雜度，它計算的是變量的個數(shù)。

二、如何計算常見算法的時間復雜度和空間復雜度

我們在計算時間/空間復雜度時用的都是大O漸進表示法（是一種估算法）

2.1時間復雜度計算

我們以一個簡單的函數(shù)舉例
代碼如下：

void func1(int n)
{
	int i = 0;
	int j = 0;
	int k = 0;
	int count = 0;
	for (i = 0;i < n;i++)
	{
		for (j = 0;j < n;j++)
		{
			count++;
		}
	}
	for (k = 0;k < 3 * n - 1;k++)
	{
		count++;
	}
}

試問：該函數(shù)如果被調用，要運行多少次？
我們清楚的看出i進去有n次，共有n個i，第一個for結束要運行n^ 2次，第二個for要執(zhí)行3n-1次，共執(zhí)行n^ 2+3n-1次
那么我們這里的時間復雜度是否就是n^2+3n-1呢？答案是否的
我們前面說過，時間復雜度和空間復雜度用的都是大O漸進表示法，是一種估算法

我們取的值，是取對表達式中影響最大的那個

我們以n^ 2+3 * n-1這個式子進行舉例：設f(n)=n^2+3n-1
n=1,f(n)=1+3-1=3
n=10,f(n)=100+30-1=129
n=100,f(n)=10000+300-1=10299
n=1000,f(n)=1002999
…
很容易發(fā)現(xiàn)，對f(n)影響最大的是n^ 2,設g（n）=n^2
n=1,g(n)=1
n=10,g(n)=100
n=100,g(n)=10000
n=1000,g(n)=1000000
…
當n越大，g（n）就越接近f（n）
那么這里的時間復雜度大O漸進表達法寫法是這樣的：O(n^2)

2.2空間復雜度計算

在學習空間復雜度的求解之前，我們要知道，空間復雜度也是用大O漸進表達法進行求解，我們計算的不是所占空間大小，而是變量的個數(shù)。先來看一段代碼：
代碼如下（示例）：

#include<stdio.h>
void bubblesort(int*a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n;end > 0;--end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1;i < end;++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
				swap(&a[i - 1], &a[i]);
			exchange = 1;
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

在上面這個代碼中，我們創(chuàng)建了三個變量分別是size_t end、int exchange、size_t i，盡管我們這個函數(shù)會經歷很多的循環(huán)，但這三個變量是反復使用的，也就是說他們所占的空間是被反復使用的，空間的多少是沒有變的,這里區(qū)別時間復雜度——時間是累計的，空間是不累計的（對于時間復雜度，每次循環(huán)都會被計算；對于空間復雜度，空間是可以被反復使用的）。

我們上面說過，空間復雜度計算也是用的大O漸進表示法，對于常數(shù)，我們統(tǒng)一用O(1)表示（大O漸進表示法詳情見時間和空間復雜度篇1）

ps1:assert通常用于診斷程序中潛在的BUG，通過使用assert(condition)， 當condition為false時，程序提前結束運行，利于程序BUG的定位。
ps2:size_t是一種類型，把它看作long unsigned int

我們再來看一段代碼：
代碼如下（示例）：

//計算bubblesort的空間復雜度
#include<stdio.h>
long long Factorial(size_t n)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(n - 1)*n;
}

這段代碼是一個很簡單的遞歸實現(xiàn)階乘運算，那么它的空間復雜度是多少呢？我們先假設傳過去的n=10。

10傳過來我們會進行10次遞歸，每次遞歸是創(chuàng)建一個函數(shù)棧幀（也就是一個空間），共創(chuàng)建10次，每一次的空間復雜度都是O（1）。把10換成n，也就是進行n次遞歸，每次遞歸會創(chuàng)建1個函數(shù)棧幀，空間復雜度是O(n)。

ps：可能會有小伙伴問，那函數(shù)棧幀遞歸往回走的時候不是銷毀了嗎？注意：這里的空間復雜度是計算的“最壞、最多的情況”，況且不管是什么函數(shù)，在使用過后其棧幀都會銷毀，空間復雜度算的是它用的空間最多的時候。

2.3快速推倒大O漸進表達法

1.常數(shù)1代替所有加法運算中的常數(shù)
2.只保留最高階（高數(shù)極限思想）
3.若最高階存在且不為常數(shù)，則去除最高階的系數(shù)，比如3*n^ 9，去掉系數(shù)變?yōu)閚^9

我們再來看兩個代碼訓練一下
代碼1如下：

void func2(int n)
{
	int i = 0;
	int k = 0;
	int count = 0;
	for (i = 0;i < 3n;i++)
	{
		count++;
	}
	for (k = 0;k < 6;k++)
	{
		count++;
	}
}

這里f（n）=3n+6，它的大O漸進表達法就是O（n）

代碼2如下：

void func3(int n)
{
	int i = 0;
	int count = 0;
	for (i = 0;i < 1000;i++)
	{
		count++;
	}
}

這里一眼就看出是運行1000次，用什么來表示呢？前面說過：常數(shù)1代替所有加法運算中的常數(shù)，所以這里不管常數(shù)有多大，只要你只有一個常數(shù)都用O(1)表示

一些注意事項：

O(1)這個時間復雜度的估值是不隨n的改變而改變的，以大白話說，不管你輸入的n是多少，我這個算法的效率是不變的

O(n)這個時間復雜度是隨n改變的
打個通俗的比方：設一個函數(shù)O(x)=1,那你x隨意多少，函數(shù)值都是1
設一個函數(shù)O(X)=x，那這里函數(shù)值就隨x變換而變換了

三、一些特殊的情況

有些算法的時間復雜度是存在最好、平均、最壞情況：
最壞情況：任意輸入規(guī)模的最大運行次數(shù)（上界）
平均情況：任意輸入規(guī)模的期望運行次數(shù)
最好情況：任意輸入規(guī)模的最小運行次數(shù)（下界）
不多說，舉例說明：
代碼如下：

const char*strchr(char*str, char c)
{
	while (*str != '\0')
	{
		if (*str == c)
		{
			return str;
		}
		++str;
	}
	return NULL;
}

上面的代碼是一個簡單的查找字符的函數(shù)，比如我們現(xiàn)在給一串字符共n個字符“aaaaba…aaac”（省略號省略a）
這里查找a一下子就找到了，查找b要點功夫，查找c就更慢了，如果查找d，不好意思，查無此d。
那么這里就出現(xiàn)了最好情況：一次找到O（1）
平均情況：O（n/2）
最差情況：O（n）
對于這里最壞情況可能有同學要說為什么是O（n），你看最壞情況沒找到不是嗎？這里解釋是這樣的，你找c要n次，找d是找不到也要找n次才能確定找不到。

總結

本文介紹了時間和空間復雜度的定義及大O漸進表達法的算法及一些特殊情況的解釋，希望對屏幕前的讀者有所幫助，祝您學習愉快！

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