快捷導(dǎo)航

R語言編程數(shù)學(xué)分析重讀微積分微分學(xué)原理運用

更新時間：2021年10月21日 11:15:01 作者：微小冷

這篇文章主要介紹了R語言編程數(shù)學(xué)分析重讀微積分微分學(xué)的原理運用，有需要的朋友可以借鑒參考下，希望能夠有=有所幫助，祝大家多多進步

1 連續(xù)性

在這里插入圖片描述

比如下面這個隨機函數(shù)

x = seq(0,0.1,0.01)
y = runif(11,0,1)
plot(x,y)
lines(x,y)

在這里插入圖片描述

x = seq(0,0.01,0.00001)
y = runif(1001,0,1)
plot(x,y)

在這里插入圖片描述

無論我們把區(qū)間縮小到什么程度，這種亂糟糟的仿佛要鋪滿整個坐標(biāo)圖的點的樣式并不會發(fā)生變化。

在這里插入圖片描述

也就是說， f(x)從左邊趨近于0的時候，f(x)在0處是連續(xù)的，而在右側(cè)趨近于0的時候，卻并不連續(xù)。此即左連續(xù)和右連續(xù)的概念。

2 求導(dǎo)

回到切線的問題，如果曲線 y=f(x)在 x0點并不連續(xù)，那么這點顯然沒有唯一的一條切線。

有的時候，盡管滿足了連續(xù)性的要求，也不一定存在切線，比如

y = ∣ x ∣

x = seq(-10,10)
y = abs(x)
plot(x,y,type='l')

在這里插入圖片描述

在 x=0的位置，我們找到的切線要么和左邊重合，要么和右邊重合，也就是說這個函數(shù)在x=0處存在兩條切線。

同時也就意味著這一點有兩個斜率，兩個導(dǎo)數(shù)。所以，如果把導(dǎo)數(shù)定義為某種映射，則一個點只能映射為一個值，所以只能定義這點的導(dǎo)數(shù)不存在。

在這里插入圖片描述

3 數(shù)值導(dǎo)數(shù)

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)函數(shù)的定義域不連續(xù)時，其不連續(xù)處顯然是不存在導(dǎo)數(shù)的，但圖形可以“欺騙”我們的眼睛。

> x = seq(-1,1,0.1)
> y = sin(x)
> y1 = cos(x)
> xEnd = x+0.1
> yEnd = y+y1*0.1
> plot(x,y)
> for(i in seq_along(x)){
+ lines(c(x[i],xEnd[i]),c(y[i],yEnd[i]),col="red")
+ }

在這里插入圖片描述

上圖中，圓圈是對y = sinx 進行抽樣的結(jié)果，可以理解為不連續(xù)函數(shù)；紅線則是在每一個分立的點上，sinx在該點的切線。這兩者看上去如此一致，說明連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在抽樣之后仍然具備一定的數(shù)學(xué)意義。相應(yīng)地，不連續(xù)的函數(shù)，也應(yīng)該有類似于導(dǎo)數(shù)一樣的存在，從而與連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相對應(yīng)，此即數(shù)值導(dǎo)數(shù)。如果回顧導(dǎo)數(shù)的定義

在這里插入圖片描述

x = seq(-5,5,0.1)
y = cos(x)
x1 = seq(-5,5,0.1)
end = length(x1)
y1 = (sin(x1[2:end])-sin(x1[1:end-1]))/0.1
x5 = seq(-5,5,0.5)
end = length(x5)
y5 = (sin(x5[2:end])-sin(x5[1:end-1]))/0.5
x10 = seq(-5,5,1)
end = length(x10)
y10 = (sin(x10[2:end])-sin(x10[1:end-1]))/0.5
plot(x,y,type="l",col="red")
lines(x1[2:length(x1)],y1)
lines(x5[2:length(x5)],y5)
lines(x10[2:length(x10)],y10)

如圖所示

在這里插入圖片描述

由于我們采用的是后向差分，所以三組差商的值整體右移。此外，隨著 h的增大，其誤差也越來越明顯。

對一個函數(shù)進行反復(fù)求導(dǎo)，即可得到高階導(dǎo)數(shù)，可以用數(shù)學(xué)歸納法的方式記為

在這里插入圖片描述

4 差商與牛頓插值

在這里插入圖片描述

根據(jù)這個表達(dá)式，可以通過一個簡單的遞歸程序計算數(shù)組的差商

# 差商算法,x,y為同等長度的數(shù)組
diffDiv<-function(x,y){
    end = length(x)
    ind = 2:end #索引
    return(
        if(end==1) y[1]
        else (diffDiv(x[ind],y[ind])
            -diffDiv(x[ind-1],y[ind-1]))/(x[end]-x[1])
    )
}

如果要計算階數(shù)為k的差商，只需重復(fù)調(diào)用diffDiv，

kDiffDiv <- function(x,y,k){
    len <- length(x)
    if(len<k) return(0)
    d<-rep(0,len-k)
    for(i in 1:(len-k))
        d[i] <- diffDiv(x[i:(i+k)],y[i:(i+k)])
    return(d)
}

據(jù)此，繪制出 y=x^5這個函數(shù)的差商，

> plot(x,y)
> k = 1
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="red")
> k = 2
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="green")
> k = 3
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="blue")
> k = 4
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="purple")
> k = 5
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="yellow")
> k = 6
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="gray")

如圖所示

在這里插入圖片描述

可見差商與微分在階數(shù)上有著一致的趨勢。那么，知道了差商之后，可以做點什么呢？

根據(jù)差商定義，可得

在這里插入圖片描述

polyMulti<-function(x){
    n = length(x)
    if(n<2) return(c(-x,1))
    omega = rep(0,n+1)
    omega[1] = - x[1]
    omega[2] = 1
    for(i in 2:n){
        omega[2:i] = -x[i]*omega[2:i]*+omega[1:(i-1)]
        omega[1] = -x[i]*omega[1]
        omega[i+1] = 1
    }
    return(omega)
}
Newton<-function(x,y){
    n = length(x)
    N = rep(0,n+1)
    N[1]=y[1]
    for(i in 1:n){
        omega = polyMulti(x[1:i])
        d = kDiffDiv(x[1:i],y[1:i],i-1)
        N[1:i] = N[1:i] + d*omega[1:i]
        N[i+1] = d*omega[i+1]
    }
    return(N)
}

驗證一下

x = sort(rnorm(10))
y = x^5+2*x^4
N = Newton(x,y)
Y = y*0
for(i in 1:length(Y))
    for(j in 1:length(N))
        Y[i] = Y[i]+N[j]*x[i]^(j-1)
plot(x,y)
lines(x,Y)

在這里插入圖片描述

可見效果還是不錯的。

5 方向?qū)?shù)

在這里插入圖片描述

現(xiàn)繪制出100個隨機點處x方向的偏導(dǎo)數(shù)

x = matrix(data=seq(-5,4.95,0.05),nrow=200,ncol=200)
y = t(x)
z = 1-(x^2+y^2)
library(rgl)
persp3d(x,y,z,col="red")
N = 1000
x0 = rnorm(N)
y0 = rnorm(N)
z0 = 1-(x0^2+y0^2)
x1 = x0+3
z1 = -2*x0*3+z0
for(i in 1:N)
    lines3d(c(x0[i],x1[i]),c(y0[i],y0[i]),c(z0[i],z1[i]),col="green")

在這里插入圖片描述

從觀感上來看，綠線的確是沿著 x x x方向。但是這個切線顯然不是唯一的， y y y軸方向顯然存在另一條切線。推而廣之，一旦坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，那么曲面上任意一點處的 x和 y方向均會發(fā)生變化。

那么曲面是否存在一個只和曲面特征有關(guān)，而與坐標(biāo)系無關(guān)的參數(shù)？

在解決這個問題之前，最好先找到曲面某點沿著任意方向的導(dǎo)數(shù)?；仡?x方向偏導(dǎo)數(shù)的定義

在這里插入圖片描述

如果導(dǎo)數(shù)的方向發(fā)生旋轉(zhuǎn)，則可以寫為

在這里插入圖片描述

如果寫成矢量形式，則定義梯度

在這里插入圖片描述

沿這些點梯度方向做一些直線，看看效果如何

x = matrix(data=seq(-5,4.95,0.05),nrow=200,ncol=200)
y = t(x)
z = -(x^2+y^2)
library(rgl)
persp3d(x,y,z,col="red")
theta = seq(-pi,pi,0.01)
x0 = cos(theta)
y0 = sin(theta)
z0 = 1-(x0^2+y0^2)
x1 = x0*0
y1 = y0*0
z1 = z0+2
for(i in 1:N)
    lines3d(c(x0[i],x1[i]),c(y0[i],y1[i]),c(z0[i],z1[i]),col="green")

如圖所示，像一頂漂亮的帽子，在某個投影方向看去，和我們熟知的切線如出一轍。

在這里插入圖片描述

6 全微分

在這里插入圖片描述

做圖如下

theta = seq(-pi,pi,0.1)
x = cos(theta)
y = sin(theta)
plot(x,y,type='l',col='red')
x1 = x*0
y1 = (x1-x)/(-2*x)*(-2*y)+y
for(i in 1:length(theta))
    lines(c(x[i],x1[i]),c(y[i],y1[i]),col='green')

可見，梯度方向?qū)?yīng)的是圖形的法線方向。對于二維平面內(nèi)的曲線而言，其法線方向與切線方向垂直。

在這里插入圖片描述

回顧偏導(dǎo)數(shù)的定義

在這里插入圖片描述

7 法線

在這里插入圖片描述

相應(yīng)地最大方向?qū)?shù)的方向即為梯度的歸一化

在這里插入圖片描述

現(xiàn)隨機選擇一些點，來繪制一下這四個方向的向量

library(rgl)
N = 1500
x<-rnorm(N)
y<-rnorm(N)
z<-1-x^2-y^2
for(i in 1:N){
    lines3d(c(x[i],3*x[i]),c(y[i],3*y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='red')
    if(y[i]>0.1)
        lines3d(c(x[i],x[i]),c(y[i],y[i]-1/y[i]/2),c(z[i],z[i]+1),col='green')
    if(x[i]>0.1)
    lines3d(c(x[i],x[i]-1/x[i]/2),c(y[i],y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='green')
    lines3d(c(x[i],x[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(y[i],y[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(z[i],z[i]+1),col='green')
}

在這里插入圖片描述

可以看到，綠線幾乎重新編織了一遍原函數(shù)，而紅線則刺破了曲面。

8 偏導(dǎo)數(shù)和邊緣檢測

基于偏導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測

灰度圖像是天然的z=f(x,y)函數(shù)，盡管以一種差分化的形式存在。其中x,y分別代表圖像坐標(biāo)系中的坐標(biāo) z可以表示灰度圖像的灰度值。

那么接下來我們可以觀察一下偏導(dǎo)數(shù)作用在圖像上是一個什么效果。圖片當(dāng)然是最經(jīng)典的lena

在這里插入圖片描述

library(imager)
img = load.image("lena.jpg")
dim(img)
[1] 512 512   1   3
gray = grayscale(img)
par(mfrow=c(1,2))
plot(img)
plot(gray)

在這里插入圖片描述

可見gray顯然為灰度圖像，從其維度就能看得出來，然后將其變?yōu)槎S的數(shù)組，接下來就可以進行求導(dǎo)操作了。

dim(gray)
[1] 512 512   1   1
mat = array(gray,dim=c(512,512))
mat_x = diff(mat,1)
mat_y = t(diff(t(mat),1))
par(mfrow=c(1,2))
image(mat_x)
image(mat_y)

在這里插入圖片描述

由于圖像坐標(biāo)系默認(rèn)是從上向下為 y y y軸，從左向右為 x x x軸，所以在我們熟知的坐標(biāo)系中，圖像是上下顛倒的。而且R語言還非常智能（障）地添加了一層偽彩色，這讓我們更加清晰地看出，對圖像進行差分操作，提取出了邊緣信息。

這很容易理解，所謂“邊緣”，往往意味著變化較大的點，如果我們抽取lena圖的任意一行，

a=mat[256,]
par(mfrow=c(1,2))
plot(a,type='l')
plot(diff(a,1),type='l')

在這里插入圖片描述

在變化劇烈處，相應(yīng)地導(dǎo)數(shù)較大。

若將偏導(dǎo)數(shù)在圖像空間中展開，由于任意兩個像素點之間的差恒為1，則可得到其差分形式

在這里插入圖片描述

Roberts算子

求導(dǎo)是對整個函數(shù)的定義域展開的一次性操作，但在考察其差分形式之后卻發(fā)現(xiàn)，數(shù)值偏導(dǎo)數(shù)可以寫成一種對局部區(qū)域的反復(fù)操作。

例如，就前向差分而言，可以對圖像的任意一個子矩陣

在這里插入圖片描述

theta = c(pi/3,pi/4,pi/5,pi/6)
par(mfrow=c(2,2))
for(i in 1:4)
image(mat_x[,1:511]*cos(theta[i])+mat_y[1:511,]*sin(theta[i]))

在這里插入圖片描述

可以看到，最后一張圖片的法向角度為 30° ，而其右下角正好有一個 30°附近的清晰的邊緣。

在這里插入圖片描述

其他算子

如果通過中心差分來定義算子，則統(tǒng)一維度后，其x和 y向的梯度算子分別寫為

在這里插入圖片描述

以上就是R語言編程數(shù)學(xué)分析重讀微積分微分學(xué)原理運用的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于R語言數(shù)學(xué)分析微分學(xué)原理的資料請關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

您可能感興趣的文章:

亚洲乱码中文字幕综合,中国熟女仑乱hd,亚洲精品乱拍国产一区二区三区,一本大道卡一卡二卡三乱码全集资源,又粗又黄又硬又爽的免费视频

軟件下載

源碼下載

軟件編程

網(wǎng)絡(luò)編程

在線工具

數(shù)據(jù)庫

CMS

常用工具

R語言編程數(shù)學(xué)分析重讀微積分微分學(xué)原理運用

目錄

1 連續(xù)性

2 求導(dǎo)

3 數(shù)值導(dǎo)數(shù)

4 差商與牛頓插值

5 方向?qū)?shù)

6 全微分

7 法線

8 偏導(dǎo)數(shù)和邊緣檢測

基于偏導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測

Roberts算子

其他算子

相關(guān)文章

最新評論

大家感興趣的內(nèi)容

最近更新的內(nèi)容

常用在線小工具