光線追跡

得益于計算機的計算的能力，通過追蹤具有代表性的光線的傳播軌跡，可以更加精確地描述光學(xué)系統(tǒng)的性能，光線追跡方法也因此大展其能，諸如Zemax、tracepro等軟件便都提供了相應(yīng)的功能。

而建立在折射定律基礎(chǔ)之上的光線追跡方法，對數(shù)學(xué)功底要求較低，所以比較適合作為python初學(xué)者的入門項目。在接下來的這一章，希望通過對光線追跡的實現(xiàn)，掌握python中的列表、元組、字典、集合等數(shù)據(jù)類型的基本概念，并且對面向?qū)ο笈c函數(shù)式編程有一個基本的了解。

幾何抽象

光線

光線追跡描述的是光線與光學(xué)元件接觸之后的行為變化，因此首先需要對光線與光學(xué)元件進行刻劃。由于我們希望最終建立一個二維的光路系統(tǒng)，光線既可能水平，也可能豎直，因此通過 a x + b y + c = 0 來表示一條光線。即只需$a b c $這三個數(shù)字，便可以確定二維空間中的一條直線。

在python中，可以通過序列-list來表示一組數(shù)據(jù)，在list中，每個元素都分配一個數(shù)字作為索引，可以通過索引來提取或改變list中的值。需要注意的是，和諸多編程語言類似，python中的索引也是從0開始的。所以我們可以在python中新建一個變量來表示一條過原點斜率為1的直線：

>>> abc=[1,-1,0]    #在python中，list用方括號表示
>>> type(abc)       #type函數(shù)可以返回數(shù)據(jù)類型
<class 'list'>
>>> abc[0]          #在python中，用方括號進行索引
1
>>> abc[1] = 5      #list中的值可以更改
>>> abc[-1]         #在python中，索引-1往往表示倒數(shù)第一個值
0
>>> abc             #修改后的abc
[1, 5, 0]

當(dāng)然，光線實質(zhì)上是一種有源的射線，所以需要對直線方程 a x + b y + c = 0 進行符號約定，進而明確其方向性。
考慮到[a,b,c]與[-a,-b,-c]可以表示同一條直線，所以我們可以通過 a 和 b的正負(fù)號來表明其方向。通過射線終點所在象限對[a,b]的正負(fù)號進行限定，可以得到幾組不同的符號約定，在此我們選取如下約定：

可以看到第一、三條射線的方程表示同一條直線，但由于引入符號約定，所以我們可以區(qū)分其方向上的差別，從而可以判斷這條光線是否會與某一光學(xué)元件相交。

如果希望繪制出一條光線，可以調(diào)用python的UI庫wxpython，為了不影響內(nèi)容的連貫性，這種方法會在后面統(tǒng)一講解。

除了這里所推薦的直線的abc表示法，我們還可以通過始點與角度來對光線進行表示，我們同樣可以使用三個參數(shù)[x0,y0,theta]。但是在進行計算的時候，需要先將其轉(zhuǎn)換成為[a,b,c]的表示方法，因此需要定義轉(zhuǎn)換函數(shù)，即通過初始點和角度生成射線的函數(shù)，考慮到此前的符號約定，其轉(zhuǎn)換公式為

需要注意的一點是，這里需要調(diào)用numpy包來使用三角函數(shù)。

import numpy as np
x0,y0,theta = [0,0,np.pi/4]     #np.pi即圓周率
abc = [np.sin(theta),           #在python中，括號內(nèi)換行可以不用標(biāo)記
      -np.cos(theta),
      -(np.sin(theta)*x0-np.cos(theta)*y0)]

由于這個方法可能會被經(jīng)常使用，所以可以封裝成函數(shù)，在python中，通過關(guān)鍵字def進行函數(shù)的定義。對于參數(shù)個數(shù)和返回值的個數(shù)以及數(shù)據(jù)類型幾乎沒有限制。故可以寫為

import numpy as np
def getABC(x0,y0,theta):    #函數(shù)定義格式為 def 函數(shù)名(傳入?yún)?shù)):
    a = np.sin(theta)       #函數(shù)下方需要進行縮進
    b = -np.cos(theta)
    c = -(np.sin(theta)*x0-np.cos(theta)*y0)
return a,b,c                #在python中，通過return返回abc參數(shù)

也可以寫為

import numpy as np
def getABC(x0,y0,theta):
    return [np.sin(theta),      #在括號內(nèi)可以直接換行
            -np.cos(theta),
            -(np.sin(theta)*x0-np.cos(theta)*y0)]

在命令行中調(diào)用

>>> import test
>>> import numpy as np
>>> test.getABC(0,0,-np.pi/4)
[-0.7071067811865476, -0.7071067811865476, 0.0]

線段與圓弧

在光學(xué)系統(tǒng)中，最常見的光學(xué)器件便是平面鏡和透鏡，則其在入射光線子午面上的投影可拆解為線段和圓弧。

對于線段，可以非常直觀地通過兩個點進行表示。在python中，除了列表之外，可以用元組(tuple)來表示序列，不同之處在于元組的元素不能修改。在此，用飽含兩個元素的元組來表示一個點,將兩個點組成列表來表示線段：

>>> a = (0,0)       #在python中，元組用小括號表示
>>> b = (1,1)
>>> seg = [a,b]     #列表中的元素可以有不同的類型
>>> seg
[(0, 0), (1, 1)]
>>>

圓可以通過圓心與半徑來表示，簡潔而利于計算。圓弧則可以通過圓與角度來表示。但是作為光學(xué)元件的組成部分，為了便于后面的處理，其表現(xiàn)形式最好與線段相似，即通過三點即A、B、C來確認(rèn)一段圓弧。

但是具體計算的過程中往往需要將圓弧轉(zhuǎn)換成圓的表達形式進行操作，所以定義函數(shù)arc2cir來實現(xiàn)這個功能。由于其數(shù)學(xué)過程過于簡單，故只對一些命令進行說明，其中np.lialg為numpy的線性代數(shù)包，np.linalg.norm為求范數(shù)，np.linalg.norm(a-b)相當(dāng)于求a、b兩點之間的距離。

def arc2cir(arc):
    arc = np.array(arc)     #list不能進行數(shù)組運算，需要轉(zhuǎn)成np.array的形式
    dCD = np.linalg.norm(1/2*(arc[0]+arc[1])-arc[2])  #CD長度
    dBC2 = np.sum(np.square(arc[1]-arc[2]))           #BC**2
    radius = 0.5*dBC2/dCD                             #圓半徑
    theta = (arc[2]-1/2*(arc[0]+arc[1]))/dCD          #三角函數(shù)值
    zero = arc[2]-radius*theta
    return list(zero)+[radius]                        #列表相加為其內(nèi)部元素的合并

需要注意的是，在python中，list、tuple都不支持整體上的數(shù)學(xué)計算，這很容易理解，因為二者中存儲的不一定是數(shù)字，而可能是其他的什么東西。格式不同，自然無法計算。因此在考慮計算之前，需要將二者轉(zhuǎn)換成numpy.array這種數(shù)組格式。

列表、元組、數(shù)組之間的轉(zhuǎn)換非常簡單而直觀。

import numpy as np
>>> lis = [1,2,3]
>>> tup = tuple(lis)
>>> arr = np.array(tup)
>>> arr
array([1, 2, 3])
>>> lis
[1, 2, 3]
>>> tup
(1, 2, 3)

以上就是Python光學(xué)仿真教程實現(xiàn)光線追蹤的詳細內(nèi)容，更多關(guān)于Python實現(xiàn)光線追蹤的資料請關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

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