Python數(shù)學建模StatsModels統(tǒng)計回歸之線性回歸示例詳解
1、背景知識
1.1 插值、擬合、回歸和預(yù)測
插值、擬合、回歸和預(yù)測，都是數(shù)學建模中經(jīng)常提到的概念，而且經(jīng)常會被混為一談。
- 插值，是在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過全部給定的離散數(shù)據(jù)點。 插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過函數(shù)在有限個點處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點處的近似值。
- 擬合，是用一個連續(xù)函數(shù)（曲線）靠近給定的離散數(shù)據(jù)，使其與給定的數(shù)據(jù)相吻合。
因此，插值和擬合都是根據(jù)已知數(shù)據(jù)點求變化規(guī)律和特征相似的近似曲線的過程，但是插值要求近似曲線完全經(jīng)過給定的數(shù)據(jù)點，而擬合只要求近似曲線在整體上盡可能接近數(shù)據(jù)點，并反映數(shù)據(jù)的變化規(guī)律和發(fā)展趨勢。插值可以看作是一種特殊的擬合，是要求誤差函數(shù)為 0的擬合。由于數(shù)據(jù)點通常都帶有誤差，誤差為 0 往往意味著過擬合，過擬合模型對于訓練集以外的數(shù)據(jù)的泛化能力是較差的。因此在實踐中，插值多用于圖像處理，擬合多用于實驗數(shù)據(jù)處理。
- 回歸，是研究一組隨機變量與另一組隨機變量之間關(guān)系的統(tǒng)計分析方法，包括建立數(shù)學模型并估計模型參數(shù)，并檢驗數(shù)學模型的可信度，也包括利用建立的模型和估計的模型參數(shù)進行預(yù)測或控制。
- 預(yù)測是非常廣泛的概念，在數(shù)模中是指對獲得的數(shù)據(jù)、信息進行定量研究，據(jù)此建立與預(yù)測目的相適應(yīng)的數(shù)學模型，然后對未來的發(fā)展變化進行定量地預(yù)測。通常認為，插值和擬合都是預(yù)測類的方法。
回歸是一種數(shù)據(jù)分析方法，擬合是一種具體的數(shù)據(jù)處理方法。擬合側(cè)重于曲線參數(shù)尋優(yōu)，使曲線與數(shù)據(jù)相符；而回歸側(cè)重于研究兩個或多個變量之間的關(guān)系。
1.2 線性回歸
回歸分析（Regression analysis)是一種統(tǒng)計分析方法，研究是自變量和因變量之間的定量關(guān)系，經(jīng)常用于預(yù)測分析、時間序列模型以及發(fā)現(xiàn)變量之間的因果關(guān)系。按照變量之間的關(guān)系類型，回歸分析可以分為線性回歸和非線性回歸。
線性回歸（Linear regression） 假設(shè)給定數(shù)據(jù)集中的目標（y）與特征（X）存在線性關(guān)系，即滿足一個多元一次方程 。 回歸分析中，只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，稱為一元線性回歸；如果包括兩個或多個的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸。
根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，采用最小二乘法可以得到線性回歸模型參數(shù)的估計量，并使根據(jù)估計參數(shù)計算的模型數(shù)據(jù)與給定的樣本數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。
進一步地，還需要分析對于樣本數(shù)據(jù)究竟能不能采用線性回歸方法，或者說線性相關(guān)的假設(shè)是否合理、線性模型是否具有良好的穩(wěn)定性？這就需要使用統(tǒng)計分析進行顯著性檢驗，檢驗因變量與自變量之間的線性關(guān)系是否顯著，用線性模型來描述它們之間的關(guān)系是否恰當。
2、Statsmodels 進行線性回歸
本節(jié)結(jié)合 Statsmodels 統(tǒng)計分析包 的使用介紹線性擬合和回歸分析。線性模型可以表達為如下公式：
2.1 導入工具包
import statsmodels.api as sm from statsmodels.sandbox.regression.predstd
import wls_prediction_std
2.2 導入樣本數(shù)據(jù)
樣本數(shù)據(jù)通常保存在數(shù)據(jù)文件中，因此要讀取數(shù)據(jù)文件獲得樣本數(shù)據(jù)。為便于閱讀和測試程序，本文使用隨機數(shù)生成樣本數(shù)據(jù)。讀取數(shù)據(jù)文件導入數(shù)據(jù)的方法，將在后文介紹。
# 生成樣本數(shù)據(jù): nSample = 100 x1 = np.linspace(0, 10, nSample) # 起點為 0，終點為 10，均分為 nSample個點 e = np.random.normal(size=len(x1)) # 正態(tài)分布隨機數(shù) yTrue = 2.36 + 1.58 * x1 # y = b0 + b1*x1 yTest = yTrue + e # 產(chǎn)生模型數(shù)據(jù)
本案例是一元線性回歸問題，(yTest，x)是導入的樣本數(shù)據(jù)，我們需要通過線性回歸獲得因變量 y 與自變量 x 之間的定量關(guān)系。yTrue 是理想模型的數(shù)值，yTest 模擬實驗檢測的數(shù)據(jù)，在理想模型上加入了正態(tài)分布的隨機誤差。
2.3 建模與擬合
一元線性回歸模型方程為：
y = β0 + β1 * x + e
先通過 sm.add_constant() 向矩陣 X 添加截距列后，再用 sm.OLS() 建立普通最小二乘模型，最后用 model.fit() 就能實現(xiàn)線性回歸模型的擬合，并返回擬合與統(tǒng)計分析的結(jié)果摘要。
X = sm.add_constant(x1) # 向 x1 左側(cè)添加截距列 x0=[1,…1]
statsmodels.OLS 是 statsmodels.regression.linear_model 的函數(shù)，有 4個參數(shù) (endog, exog, missing, hasconst)。
model = sm.OLS(yTest, X) # 建立最小二乘模型（OLS）
results = model.fit() # 返回模型擬合結(jié)果
第一個參數(shù) endog 是回歸模型中的因變量 y(t), 是1-d array 數(shù)據(jù)類型。
第二個輸入 exog 是自變量 x0(t),x1(t),…,xm(t)，是(m+1)-d array 數(shù)據(jù)類型。
需要注意的是，statsmodels.OLS 的回歸模型沒有常數(shù)項，其形式為：
y = B*X + e = β0*x0 + β1*x1 + e, x0 = [1,…1]
而之前導入的數(shù)據(jù) (yTest，x1) 并不包含 x0，因此需要在 x1 左側(cè)增加一列截距列 x0=[1,…1]，將自變量矩陣轉(zhuǎn)換為 X = (x0, x1)。函數(shù) sm.add_constant() 實現(xiàn)的就是這個功能。
參數(shù) missing 用于數(shù)據(jù)檢查, hasconst 用于檢查常量，一般情況不需要。
2.4 擬合和統(tǒng)計結(jié)果的輸出
Statsmodels 進行線性回歸分析的輸出結(jié)果非常豐富，results.summary() 返回了回歸分析的摘要。
print(results.summary()) # 輸出回歸分析的摘要
摘要所返回的內(nèi)容非常豐富，這里先討論最重要的一些結(jié)果，在 summary 的中間段落。
==============================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const 2.4669 0.186 13.230 0.000 2.097 2.837
x1 1.5883 0.032 49.304 0.000 1.524 1.652
==============================================================================
coef：回歸系數(shù)（Regression coefficient），即模型參數(shù) β0、β1、…的估計值。
std err ：標準差（ Standard deviation），也稱標準偏差，是方差的算術(shù)平方根，反映樣本數(shù)據(jù)值與回歸模型估計值之間的平均差異程度 。標準差越大，回歸系數(shù)越不可靠。
t：t 統(tǒng)計量（t-Statistic），等于回歸系數(shù)除以標準差，用于對每個回歸系數(shù)分別進行檢驗，檢驗每個自變量對因變量的影響是否顯著。如果某個自變量 xi的影響不顯著，意味著可以從模型中剔除這個自變量。
P>|t|：t檢驗的 P值（Prob(t-Statistic)），反映每個自變量 xi 與因變量 y 的相關(guān)性假設(shè)的顯著性。如果 p<0.05，可以理解為在0.05的顯著性水平下變量xi與y存在回歸關(guān)系，具有顯著性。
[0.025,0.975]：回歸系數(shù)的置信區(qū)間（Confidence interval）的下限、上限，某個回歸系數(shù)的置信區(qū)間以 95%的置信度包含該回歸系數(shù) 。注意并不是指樣本數(shù)據(jù)落在這一區(qū)間的概率為 95%。
此外，還有一些重要的指標需要關(guān)注：
R-squared：R方判定系數(shù)（Coefficient of determination），表示所有自變量對因變量的聯(lián)合的影響程度，用于度量回歸方程擬合度的好壞，越接近于 1說明擬合程度越好。
F-statistic：F 統(tǒng)計量（F-Statistic），用于對整體回歸方程進行顯著性檢驗，檢驗所有自變量在整體上對因變量的影響是否顯著。
Statsmodels 也可以通過屬性獲取所需的回歸分析的數(shù)據(jù)，例如：
print(“OLS model: Y = b0 + b1 * x”) # b0: 回歸直線的截距，b1: 回歸直線的斜率
print('Parameters: ', results.params) # 輸出：擬合模型的系數(shù)
yFit = results.fittedvalues # 擬合模型計算出的 y值
ax.plot(x1, yTest, ‘o', label=“data”) # 原始數(shù)據(jù)
ax.plot(x1, yFit, ‘r-', label=“OLS”) # 擬合數(shù)據(jù)
3、一元線性回歸
3.1 一元線性回歸 Python 程序：
# LinearRegression_v1.py
# Linear Regression with statsmodels (OLS: Ordinary Least Squares)
# v1.0: 調(diào)用 statsmodels 實現(xiàn)一元線性回歸
# 日期：2021-05-04
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.sandbox.regression.predstd import wls_prediction_std
def main(): # 主程序
# 生成測試數(shù)據(jù):
nSample = 100
x1 = np.linspace(0, 10, nSample) # 起點為 0，終點為 10，均分為 nSample個點
e = np.random.normal(size=len(x1)) # 正態(tài)分布隨機數(shù)
yTrue = 2.36 + 1.58 * x1 # y = b0 + b1*x1
yTest = yTrue + e # 產(chǎn)生模型數(shù)據(jù)
# 一元線性回歸：最小二乘法(OLS)
X = sm.add_constant(x1) # 向矩陣 X 添加截距列（x0=[1,...1]）
model = sm.OLS(yTest, X) # 建立最小二乘模型（OLS）
results = model.fit() # 返回模型擬合結(jié)果
yFit = results.fittedvalues # 模型擬合的 y值
prstd, ivLow, ivUp = wls_prediction_std(results) # 返回標準偏差和置信區(qū)間
# OLS model: Y = b0 + b1*X + e
print(results.summary()) # 輸出回歸分析的摘要
print("\nOLS model: Y = b0 + b1 * x") # b0: 回歸直線的截距，b1: 回歸直線的斜率
print('Parameters: ', results.params) # 輸出：擬合模型的系數(shù)
# 繪圖：原始數(shù)據(jù)點，擬合曲線，置信區(qū)間
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
ax.plot(x1, yTest, 'o', label="data") # 原始數(shù)據(jù)
ax.plot(x1, yFit, 'r-', label="OLS") # 擬合數(shù)據(jù)
ax.plot(x1, ivUp, '--',color='orange',label="upConf") # 95% 置信區(qū)間 上限
ax.plot(x1, ivLow, '--',color='orange',label="lowConf") # 95% 置信區(qū)間 下限
ax.legend(loc='best') # 顯示圖例
plt.title('OLS linear regression ')
plt.show()
return
if __name__ == '__main__': #YouCans, XUPT
main()
3.2 一元線性回歸 程序運行結(jié)果：
OLS Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: y R-squared: 0.961
Model: OLS Adj. R-squared: 0.961
Method: Least Squares F-statistic: 2431.
Date: Wed, 05 May 2021 Prob (F-statistic): 5.50e-71
Time: 16:24:22 Log-Likelihood: -134.62
No. Observations: 100 AIC: 273.2
Df Residuals: 98 BIC: 278.5
Df Model: 1
Covariance Type: nonrobust
==============================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const 2.4669 0.186 13.230 0.000 2.097 2.837
x1 1.5883 0.032 49.304 0.000 1.524 1.652
==============================================================================
Omnibus: 0.070 Durbin-Watson: 2.016
Prob(Omnibus): 0.966 Jarque-Bera (JB): 0.187
Skew: 0.056 Prob(JB): 0.911
Kurtosis: 2.820 Cond. No. 11.7
==============================================================================
OLS model: Y = b0 + b1 * x
Parameters: [2.46688389 1.58832741]
4、多元線性回歸
4.1 多元線性回歸 Python 程序：
# LinearRegression_v2.py
# Linear Regression with statsmodels (OLS: Ordinary Least Squares)
# v2.0: 調(diào)用 statsmodels 實現(xiàn)多元線性回歸
# 日期：2021-05-04
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.sandbox.regression.predstd import wls_prediction_std
# 主程序
def main(): # 主程序
# 生成測試數(shù)據(jù):
nSample = 100
x0 = np.ones(nSample) # 截距列 x0=[1,...1]
x1 = np.linspace(0, 20, nSample) # 起點為 0，終點為 10，均分為 nSample個點
x2 = np.sin(x1)
x3 = (x1-5)**2
X = np.column_stack((x0, x1, x2, x3)) # (nSample,4): [x0,x1,x2,...,xm]
beta = [5., 0.5, 0.5, -0.02] # beta = [b1,b2,...,bm]
yTrue = np.dot(X, beta) # 向量點積 y = b1*x1 + ...+ bm*xm
yTest = yTrue + 0.5 * np.random.normal(size=nSample) # 產(chǎn)生模型數(shù)據(jù)
# 多元線性回歸：最小二乘法(OLS)
model = sm.OLS(yTest, X) # 建立 OLS 模型: Y = b0 + b1*X + ... + bm*Xm + e
results = model.fit() # 返回模型擬合結(jié)果
yFit = results.fittedvalues # 模型擬合的 y值
print(results.summary()) # 輸出回歸分析的摘要
print("\nOLS model: Y = b0 + b1*X + ... + bm*Xm")
print('Parameters: ', results.params) # 輸出：擬合模型的系數(shù)
# 繪圖：原始數(shù)據(jù)點，擬合曲線，置信區(qū)間
prstd, ivLow, ivUp = wls_prediction_std(results) # 返回標準偏差和置信區(qū)間
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
ax.plot(x1, yTest, 'o', label="data") # 實驗數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)+誤差）
ax.plot(x1, yTrue, 'b-', label="True") # 原始數(shù)據(jù)
ax.plot(x1, yFit, 'r-', label="OLS") # 擬合數(shù)據(jù)
ax.plot(x1, ivUp, '--',color='orange', label="ConfInt") # 置信區(qū)間 上屆
ax.plot(x1, ivLow, '--',color='orange') # 置信區(qū)間 下屆
ax.legend(loc='best') # 顯示圖例
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()
return
if __name__ == '__main__':
main()
4.2 多元線性回歸 程序運行結(jié)果：
OLS Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: y R-squared: 0.932
Model: OLS Adj. R-squared: 0.930
Method: Least Squares F-statistic: 440.0
Date: Thu, 06 May 2021 Prob (F-statistic): 6.04e-56
Time: 10:38:51 Log-Likelihood: -68.709
No. Observations: 100 AIC: 145.4
Df Residuals: 96 BIC: 155.8
Df Model: 3
Covariance Type: nonrobust
==============================================================================
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
------------------------------------------------------------------------------
const 5.0411 0.120 41.866 0.000 4.802 5.280
x1 0.4894 0.019 26.351 0.000 0.452 0.526
x2 0.5158 0.072 7.187 0.000 0.373 0.658
x3 -0.0195 0.002 -11.957 0.000 -0.023 -0.016
==============================================================================
Omnibus: 1.472 Durbin-Watson: 1.824
Prob(Omnibus): 0.479 Jarque-Bera (JB): 1.194
Skew: 0.011 Prob(JB): 0.551
Kurtosis: 2.465 Cond. No. 223.
==============================================================================
OLS model: Y = b0 + b1*X + ... + bm*Xm
Parameters: [ 5.04111867 0.4893574 0.51579806 -0.01951219]
5、附錄：回歸結(jié)果詳細說明
Dep.Variable: y 因變量
Model：OLS 最小二乘模型
Method: Least Squares 最小二乘
No. Observations: 樣本數(shù)據(jù)的數(shù)量
Df Residuals：殘差自由度(degree of freedom of residuals)
Df Model：模型自由度(degree of freedom of model)
Covariance Type：nonrobust 協(xié)方差陣的穩(wěn)健性
R-squared：R 判定系數(shù)
Adj. R-squared: 修正的判定系數(shù)
F-statistic： 統(tǒng)計檢驗 F 統(tǒng)計量
Prob (F-statistic): F檢驗的 P值
Log likelihood: 對數(shù)似然 coef：自變量和常數(shù)項的系數(shù)，b1,b2,...bm,b0
std err：系數(shù)估計的標準誤差
t：統(tǒng)計檢驗 t 統(tǒng)計量
P>|t|：t 檢驗的 P值
[0.025, 0.975]：估計參數(shù)的 95%置信區(qū)間的下限和上限
Omnibus：基于峰度和偏度進行數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗
Prob(Omnibus)：基于峰度和偏度進行數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗概率
Durbin-Watson：檢驗殘差中是否存在自相關(guān)
Skewness：偏度，反映數(shù)據(jù)分布的非對稱程度
Kurtosis：峰度，反映數(shù)據(jù)分布陡峭或平滑程度
Jarque-Bera(JB)：基于峰度和偏度對數(shù)據(jù)正態(tài)性的檢驗
Prob(JB)：Jarque-Bera(JB)檢驗的 P值。
Cond. No.：檢驗變量之間是否存在精確相關(guān)關(guān)系或高度相關(guān)關(guān)系。
以上就是Python數(shù)學建模StatsModels統(tǒng)計回歸之線性回歸示例詳解的詳細內(nèi)容，更多關(guān)于數(shù)學建模StatsModels統(tǒng)計回歸之線性回歸的資料請關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！
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