不少同學(xué)一提到泰勒公式，腦海里立馬浮現(xiàn)高大上的定義和長(zhǎng)長(zhǎng)的公式，令人望而生畏。

實(shí)際上，泰勒公式?jīng)]有那么可怕，它是用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式來逼近一個(gè)光滑的函數(shù)，從而近似替代不熟悉的函數(shù)。由于泰勒公式具有將復(fù)雜函數(shù)近似成多個(gè)冪函數(shù)疊加形式的性質(zhì)，可以用它進(jìn)行比較、求極限、求導(dǎo)、解微分方程等。

我們先來看一下泰勒公式的發(fā)明者，布魯克·泰勒——

布魯克·泰勒（Brook Taylor,1685-1732）,英國(guó)數(shù)學(xué)家，牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一，他于1712年的一封信里首次敘述了泰勒公式。

再來看一下高數(shù)書上對(duì)泰勒公式的定義：

公式3-5就稱為f(x)在x0處的帶有拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式。

初看這個(gè)泰勒公式的定義，就覺得恢宏大氣，氣勢(shì)磅礴。不過光從泰勒公式的定義，很難直觀看出它是怎么用多項(xiàng)式逼近原函數(shù)的。接下來我們用圖像和圖表來感受一下——

這里我們先列舉出f(x) = cosx在原點(diǎn)的泰勒2階、4階、6階、8階、10階的多項(xiàng)式，并用圖像表示該函數(shù)及其泰勒n階多項(xiàng)式。

對(duì)應(yīng)圖像如下，其中黑色線條為原函數(shù)f(x)，彩色線條為多項(xiàng)式g(x)?？梢钥吹诫S著階數(shù)的增大，多項(xiàng)式在更大范圍內(nèi)越來越逼近原函數(shù)。

我們?cè)儆胮ython實(shí)現(xiàn)函數(shù)y=cosx的泰勒n階多項(xiàng)式，并與y=cosx的實(shí)際值進(jìn)行比較，其中令n=40。

def f_cos(x):
    m = 20+1
    sum = 1.0
    for i in range(1,m): #range函數(shù)取值是左閉右開
        n = 2 * i 
        tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
        for j in range(1,i+1):
            tmp1 = -tmp1             
        for j in range(1,n+1):                    
            tmp2 = tmp2*x
            tmp3 = tmp3*j
        sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3
    return sum

from numpy import *
for x in range(-20,21):
    print("x = " + str(x))
    print("f_cos(x) = " + str(f_cos(x)))
    print("cos(x) = " + str(cos(x)))

比較自定義的f_cos(x)和numpy庫(kù)的cosx的誤差：

由于f(x) = cosx函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，這里只列舉出了x軸右半部分[0,20]的范圍，x軸左半部分的結(jié)果與右半部分結(jié)果相同。

在[0,20]范圍內(nèi)，當(dāng)x=20時(shí)，二者的誤差非常大。隨著x的減小，二者的誤差也在逐漸減小。在[0,13]范圍內(nèi)，二者在精度范圍內(nèi)完全一致，幾乎零誤差。

大家可以嘗試一下，把n的值調(diào)大，這個(gè)精度一致的范圍會(huì)變大。例如此例若n=30，即y=cosx的泰勒30階多項(xiàng)式，則在[-20,20]范圍內(nèi)，二者精度都完全一致。感興趣的同學(xué)可以運(yùn)用同樣的方法，分析一下其他函數(shù)。

再試著寫出函數(shù)y=sinx的泰勒n階多項(xiàng)式的python程序，其中n=19。

def f_sin(x):
    m = 10+1
    sum = 0.0
    for i in range(1,m):
        n = 2 * i - 1     
        tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
        for j in range(1,i):
            tmp1 = -tmp1  
        for j in range(1,n+1):          
            tmp2 = tmp2*x
            tmp3 = tmp3*j
        sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3 
    return sum

from numpy import *
for x in range(-20,21):
    print("x = " + str(x))
    print("f_sin(x) = " + str(f_sin(x)))
    print("sin(x) = " + str(sin(x)))

后續(xù)會(huì)繼續(xù)增加一些函數(shù)的泰勒n階多項(xiàng)式python程序（可能會(huì)偷懶）。

最后推薦一個(gè)比較好用的在線畫函數(shù)的工具Desmos：

https://www.desmos.com/calculator?lang=zh-CN

簡(jiǎn)易教程:

https://www.ravenxrz.ink/archives/27d14722.html

還可以用著名的心形線畫個(gè)愛心哦：

到此這篇關(guān)于python機(jī)器學(xué)習(xí)高數(shù)篇之泰勒公式的文章就介紹到這了,更多相關(guān)python泰勒公式內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

最新評(píng)論