[LeetCode] 77.Combinations 組合項(xiàng)

Given two integers n and k, return all possible combinations of k numbers out of 1 ... n.

For example,
If n = 4 and k = 2, a solution is:

[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

這道題讓求1到n共n個(gè)數(shù)字里k個(gè)數(shù)的組合數(shù)的所有情況，還是要用深度優(yōu)先搜索DFS來解，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，像這種要求出所有結(jié)果的集合，一般都是用DFS調(diào)用遞歸來解。那么我們建立一個(gè)保存最終結(jié)果的大集合res，還要定義一個(gè)保存每一個(gè)組合的小集合out，每次放一個(gè)數(shù)到out里，如果out里數(shù)個(gè)數(shù)到了k個(gè)，則把out保存到最終結(jié)果中，否則在下一層中繼續(xù)調(diào)用遞歸?？蓪懗龃a如下：

解法一：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        vector<vector<int>> res;
        vector<int> out;
        helper(n, k, 1, out, res);
        return res;
    }
    void helper(int n, int k, int level, vector<int>& out, vector<vector<int>>& res) {
        if (out.size() == k) {res.push_back(out); return;}
        for (int i = level; i <= n; ++i) {
            out.push_back(i);
            helper(n, k, i + 1, out, res);
            out.pop_back();
        }
    }
};

對(duì)于n = 5, k = 3, 處理的結(jié)果如下：

1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5

我們?cè)賮砜匆环N遞歸的寫法，此解法沒用helper當(dāng)遞歸函數(shù)，而是把本身就當(dāng)作了遞歸函數(shù)，寫起來十分的簡(jiǎn)潔，也是非常有趣的一種解法。這個(gè)解法用到了一個(gè)重要的性質(zhì) C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，這應(yīng)該在我們高中時(shí)候?qū)W排列組合的時(shí)候?qū)W過吧，博主也記不清了?？傊?，翻譯一下就是，在n個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合項(xiàng)個(gè)數(shù)，等于在n-1個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合項(xiàng)個(gè)數(shù)再加上在n-1個(gè)數(shù)中取k個(gè)數(shù)的組合項(xiàng)個(gè)數(shù)之和。這里博主就不證明了，因?yàn)槲乙膊粫?huì)，就直接舉題目中的例子來說明吧：

C(4, 2) = C(3, 1) + C(3, 2)

我們不難寫出 C(3, 1) 的所有情況：[1], [2], [3]，還有 C(3, 2) 的所有情況：[1, 2], [1, 3], [2, 3]。我們發(fā)現(xiàn)二者加起來為6，正好是 C(4, 2) 的個(gè)數(shù)之和。但是我們仔細(xì)看會(huì)發(fā)現(xiàn)，C(3, 2)的所有情況包含在 C(4, 2) 之中，但是 C(3, 1) 的每種情況只有一個(gè)數(shù)字，而我們需要的結(jié)果k=2，其實(shí)很好辦，每種情況后面都加上4，于是變成了：[1, 4], [2, 4], [3, 4]，加上C(3, 2) 的所有情況：[1, 2], [1, 3], [2, 3]，正好就得到了 n=4, k=2 的所有情況了。參見代碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        if (k > n || k < 0) return {};
        if (k == 0) return {{}};
        vector<vector<int>> res = combine(n - 1, k - 1);
        for (auto &a : res) a.push_back(n);
        for (auto &a : combine(n - 1, k)) res.push_back(a);
        return res;
    }
};

我們?cè)賮砜匆环N迭代的寫法，也是一種比較巧妙的方法。這里每次先遞增最右邊的數(shù)字，存入結(jié)果res中，當(dāng)右邊的數(shù)字超過了n，則增加其左邊的數(shù)字，然后將當(dāng)前數(shù)組賦值為左邊的數(shù)字，再逐個(gè)遞增，直到最左邊的數(shù)字也超過了n，停止循環(huán)。對(duì)于n=4, k=2時(shí)，遍歷的順序如下所示：

0 0 #initialization
1 0
1 1
1 2 #push_back
1 3 #push_back
1 4 #push_back
1 5
2 5
2 2
2 3 #push_back
2 4 #push_back
...
3 4 #push_back
3 5
4 5
4 4
4 5
5 5 #stop 

解法三：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        vector<vector<int>> res;
        vector<int> out(k, 0);
        int i = 0;
        while (i >= 0) {
            ++out[i];
            if (out[i] > n) --i;
            else if (i == k - 1) res.push_back(out);
            else {
                ++i;
                out[i] = out[i - 1];
            }
        }
        return res;
    }
};

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