AR(p)模型與MA(q)實(shí)際上是ARMA(p,q)模型的特例。它們都統(tǒng)稱為ARMA模型，而ARMA（p,q）模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也是AR（p）與MA（q）模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的有機(jī)組合。

平穩(wěn)系列建模

假如某個(gè)觀察值序列通過(guò)序列預(yù)處理可以判定為平穩(wěn)非白噪聲序列，就可以利用ARMA模型對(duì)序列建模。

1.求出該觀察值序列的樣本自相關(guān)系數(shù)（ACF）與偏相關(guān)系數(shù)（PACF的值。

2.根據(jù)根樣本自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，選擇階數(shù)適當(dāng)?shù)腁RMA（p,q）模型進(jìn)行擬合。

3.估計(jì)模型中未知參數(shù)的值

4.檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?。如果擬合模型未通過(guò)檢驗(yàn)，回到步驟（2）,重新選擇模型擬合。

5.模型優(yōu)化。如果擬合模型通過(guò)檢驗(yàn)，仍然回到步驟（2），充分考慮各種可能，建立多個(gè)擬合模型，從所有通過(guò)檢驗(yàn)的擬合的模型中選擇最優(yōu)模型。

6.利用擬合模型，預(yù)測(cè)序列將來(lái)的走勢(shì)。

選擇合適的模型擬合1950-2008年我國(guó)郵路及農(nóng)村投遞線路每年新增里程數(shù)序列：

白噪聲檢驗(yàn)：

 for(i in 1:2) print(Box.test(x,type = "Ljung-Box",lag=6*i))
    Box-Ljung test
data:  x
X-squared = 37.754, df = 6, p-value = 1.255e-06
    Box-Ljung test
data:  x
X-squared = 44.62, df = 12, p-value = 1.197e-05

繪制自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

acf(x)
pacf(x)

補(bǔ)充：關(guān)于ARMA模型的R語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)

新手一枚，和大家一起學(xué)習(xí)R，以后基本每周都會(huì)更新1到2篇關(guān)于數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)處理的模型和方法，希望和大家一起學(xué)習(xí)，一起成長(zhǎng)。

本周首先更新的是用R來(lái)實(shí)現(xiàn)ARMA模型。

時(shí)間序列的模型，基本上都要建立在平穩(wěn)的序列上，這里我們將來(lái)了解下ARMA模型，以及其實(shí)現(xiàn)的R代碼。

ARMA（p,q)模型，全稱移動(dòng)平均自回歸模型，它是由自回歸（AR）部分和移動(dòng)平均（MA）部分組成的，所以稱之為ARMA模型。進(jìn)行ARMA模型的話，要求時(shí)間序列一定要是平穩(wěn)的才行，否則建模無(wú)效。

1.ARMA模型具有如下形式：

2.ARMA模型建模步驟

(1)畫出時(shí)序圖，求出樣本的相關(guān)系數(shù)，偏自相關(guān)系數(shù)值

(2)根據(jù)樣本的相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)碾A數(shù)，由于這具有一定的主觀性，所以這里我們選用的是最小AIC準(zhǔn)則來(lái)定階

(3)估計(jì)模型中的參數(shù)值

(4)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?，一般分為殘差的白噪聲檢驗(yàn)和參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。

(5)利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。

3.建模

我們利用美國(guó)科羅拉多州某一加油站連續(xù)57天的OVERSHOOT序列,來(lái)進(jìn)行本次建模。

（1）首先

讀入數(shù)據(jù)，畫出其時(shí)序圖，檢驗(yàn)其平穩(wěn)性。

library(zoo)
library(tseries)
library(forecast)
overshort=read.table("C:/Users/MrDavid/data_TS/A1.9.csv",sep=",",header=T)
overshort=ts(overshort)
plot(overshort,col=4,lwd=2,pch=8,type="o")

結(jié)果如下：

進(jìn)行一次單位根檢驗(yàn)，測(cè)試該序列的平穩(wěn)性：

代碼：adf.test(overshort)

結(jié)果如下圖所示：

由以上單位根檢驗(yàn)，我們看到P值為0.01小于0.05，所以該序列平穩(wěn)

（2）對(duì)于平穩(wěn)的時(shí)間序列

我們需要進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，因?yàn)榘自肼暿羌冸S機(jī)序列，對(duì)白噪聲序列進(jìn)行建模毫無(wú)意義。

for(i in 1:3) print(Box.test(overshort,type="Ljung-Box",lag=6*i))

結(jié)果如下圖：

可以看出，該序列非白噪聲序列，可以進(jìn)行建模。

（3）模型的擬合

模型的擬合，我們可以畫出自相關(guān)圖，和偏自相關(guān)圖，對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行定階

acf(overshort,col=4,lwd=2)
pacf(overshort,col=4,lwd=2)

結(jié)果如下：

自相關(guān)圖除了顯示1階延遲在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差之外，其他自相關(guān)系數(shù)都在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，可以認(rèn)為該序列自相關(guān)系數(shù)1階截尾，騙子相關(guān)系數(shù)顯示出非截尾性質(zhì)，可以擬合模型為ARMA(0,1)，即MA(1)模型。

該模型除了自相關(guān)，偏自相關(guān)系數(shù)定階以外，還可以根據(jù)自動(dòng)定階函數(shù)auto.arima來(lái)對(duì)該序列進(jìn)行定階結(jié)果如下：

auto.arima(overshort)

也顯示出該序列的模型為MA(1)模型

接下來(lái)進(jìn)行建模，找出模型的系數(shù)：

a=arima(overshort,order=c(0,0,1),include.mean=T)
a

得出結(jié)果：

該模型為：

對(duì)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：

for(i in 1:3) print(Box.test(a$residual,type="Ljung-Box",lag=6*i))

殘差的白噪聲檢驗(yàn)，反映出，該殘差是白噪聲序列，所以殘差白噪聲檢驗(yàn)通過(guò)。

對(duì)參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：

t1=-0.8477/0.1206
pt(t1,df=12,lower.tail=T)
t2=-4.7945/1.0252
pt(t2,df=12,lower.tail=T)

參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)也通過(guò)，說(shuō)明該序列建模成功。

（4）利用該模型預(yù)測(cè)未來(lái)5期值。

a.fore=forecast(a,h=5)
a.fore

（5）畫出預(yù)測(cè)圖：

L1=a.fore$fitted-1.96*sqrt(a$sigma2)
U1=a.fore$fitted+1.96*sqrt(a$sigma2)
L2=ts(a.fore$lower[,2])
U2=ts(a.fore$upper[,2])
c1=min(overshort,L1,L2)
c2=max(overshort,L2,U2)
plot(overshort,type="p",pch=8,ylim=c(c1,c2))
lines(a.fore$fitted,col=2,lwd=2)
lines(a.fore$mean,col=2,lwd=2)
lines(L1,col=4,lty=2)
lines(U1,col=4,lty=2)
lines(L2,col=4,lty=2)
lines(U2,col=4,lty=2)

以上為個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，希望能給大家一個(gè)參考，也希望大家多多支持腳本之家。如有錯(cuò)誤或未考慮完全的地方，望不吝賜教。

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