Python實(shí)現(xiàn)求解斐波那契第n項(xiàng)的解法(包括矩陣乘法＋快速冪)

更新時(shí)間：2021年04月15日 10:32:45 作者：owry5

這篇文章主要介紹怎么使用Python求解斐波那契第n項(xiàng),方法多樣,邏輯清晰，代碼簡(jiǎn)單詳細(xì),有這方面需要的朋友可以參考下

斐波那契數(shù)列

首先我們來(lái)定義一下斐波那契數(shù)列：

這里寫圖片描述

即數(shù)列的第0項(xiàng)：

這里寫圖片描述

算法一：遞歸

遞歸計(jì)算的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)是O(2ⁿ)的級(jí)別的，效率很低，存在大量的重復(fù)計(jì)算。

比如：

f(10) = f(9) + f(8)

f(9) = f(8) + f(7) 重復(fù) 8

f(8) = f(7) + f(6) 重復(fù) 7

時(shí)間復(fù)雜度是O(2ⁿ),極慢

def F1(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)  # 前兩項(xiàng)
    return F1(n-1)+F1(n-2)  # 遞歸

算法二：記憶化搜索

開一個(gè)大數(shù)組記錄中間結(jié)果，如果一個(gè)狀態(tài)被計(jì)算過(guò)，則直接查表，否則再遞歸計(jì)算。

總共有 n 個(gè)狀態(tài)，計(jì)算每個(gè)狀態(tài)的復(fù)雜度是 O(1)，所以時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)。但由于是遞歸計(jì)算，遞歸層數(shù)太多會(huì)爆棧。

res = [None]*100000
def F2(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    if res[n]: return res[n]  # 如果已存在則直接查找返回結(jié)果
    res[n] = F2(n-1)+F2(n-2)  # 不存在則計(jì)算
    return res[n]

算法三：遞推

開一個(gè)大數(shù)組，記錄每個(gè)數(shù)的值。用循環(huán)遞推計(jì)算。

總共計(jì)算 n 個(gè)狀態(tài)，所以時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)。但需要開一個(gè)長(zhǎng)度是 n 的數(shù)組，內(nèi)存將成為瓶頸。

def F3(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    res = [0, 1]
    for i in range(2,n+1):
        res.append(res[i-1]+res[i-2])
    return res[n]

算法四：遞歸+滾動(dòng)變量

比較優(yōu)秀的一種解法。仔細(xì)觀察我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，遞推時(shí)我們只需要記錄前兩項(xiàng)的值即可，沒有必要記錄所有值，所以我們可以用滾動(dòng)變量遞推。

時(shí)間復(fù)雜度還是 O(n)，但空間復(fù)雜度變成了O(1)。

def F4(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    fn, f0, f1 = 0, 1, 0  # fn為最終結(jié)果，f0為第0項(xiàng)，f1為第一項(xiàng)，
    for i in range(2, n+1):
        fn = f0 + f1  # 前兩項(xiàng)和
        f0, f1 = f1, fn  # 遞推變量
    return fn

算法五：矩陣乘法+快速冪

利用矩陣運(yùn)算的性質(zhì)將通項(xiàng)公式變成冪次形式，然后用平方倍增（快速冪）的方法求解第 n 項(xiàng)。

先說(shuō)通式：

這里寫圖片描述

利用數(shù)學(xué)歸納法證明：

這里的a0,a1,a2是對(duì)應(yīng)斐波那契的第幾項(xiàng)

這里寫圖片描述

證畢。

所以我們想要的得到An，只需要求得Aⁿ，然后取第一行第二個(gè)元素即可。

如果只是簡(jiǎn)單的從0開始循環(huán)求n次方，時(shí)間復(fù)雜度仍然是O(n)，并不比前面的快。我們可以考慮乘方的如下性質(zhì)，即快速冪：

這里寫圖片描述

這樣只需要 logn 次運(yùn)算即可得到結(jié)果，時(shí)間復(fù)雜度為 O(logn)

def mul(a, b):  # 首先定義二階矩陣乘法運(yùn)算
    c = [[0, 0], [0, 0]]  # 定義一個(gè)空的二階矩陣，存儲(chǔ)結(jié)果
    for i in range(2):  # row
        for j in range(2):  # col
            for k in range(2):  # 新二階矩陣的值計(jì)算
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]
    return c
def F5(n):
    if n <= 1: return max(n, 0)
    res = [[1, 0], [0, 1]]  # 單位矩陣，等價(jià)于1
    A = [[1, 1], [1, 0]]  # A矩陣
    while n:
        if n & 1: res = mul(res, A)  # 如果n是奇數(shù)，或者直到n=1停止條件
        A = mul(A, A)  # 快速冪
        n >>= 1  # 整除2，向下取整
    return res[0][1]

總的來(lái)說(shuō)不是很難，適合擴(kuò)展思路。更多關(guān)于Python的資料請(qǐng)關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！希望大家以后多多支持腳本之家！

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