前言

  本篇章主要介紹串的KMP模式匹配算法及其改進(jìn)，并用Python實(shí)現(xiàn)KMP算法。

1. BF算法

  BF算法，即$$Bruce−ForceBruce-ForceBruce−Force算法，又稱暴力匹配算法。其思想就是將主串S的第一個(gè)字符與模式串T的第一個(gè)字符進(jìn)行匹配，若相等，則繼續(xù)比較S的第二個(gè)字符和T的第二個(gè)字符；若不相等，則比較S的第二個(gè)字符和T的第一個(gè)字符，依次比較下去，直到得出最后的匹配結(jié)果。

  假設(shè)主串$$S=ABACABABS=ABACABABS=ABACABAB，模式串$$T=ABABT=ABABT=ABAB，每趟匹配失敗后，主串S指針回溯，模式串指針回到頭部，然后再次匹配，過程如下：

def BF(substrS, substrT):
  if len(substrT) > len(substrS):
    return -1
  j = 0
  t = 0
  while j < len(substrS) and t < len(substrT):
    if substrT[t] == substrS[j]:
      j += 1
      t += 1
    else:
      j = j - t + 1
      t = 0
  if t == len(substrT):
    return j - t
  else:
    return -1

2. KMP算法

  KMP算法，是由$$D.E.Knuth、J.H.Morris、V.R.PrattD.E.Knuth、J.H.Morris、V.R.PrattD.E.Knuth、J.H.Morris、V.R.Pratt同時(shí)發(fā)現(xiàn)的，又被稱為克努特-莫里斯-普拉特算法。該算法的基本思路就是在匹配失敗后，無需回到主串和模式串最近一次開始比較的位置，而是在不改變主串已經(jīng)匹配到的位置的前提下，根據(jù)已經(jīng)匹配的部分字符，從模式串的某一位置開始繼續(xù)進(jìn)行串的模式匹配。

  就是這次匹配失敗時(shí)，下次匹配時(shí)模式串應(yīng)該從哪一位開始比較。

  BF算法思路簡單，便于理解，但是在執(zhí)行時(shí)效率太低。在上述的匹配過程中，第一次匹配時(shí)已經(jīng)匹配的$$"ABA""ABA""ABA"，其前綴與后綴都是$$"A""A""A"，這個(gè)時(shí)候我們就不需要執(zhí)行第二次匹配了，因?yàn)榈谝淮尉鸵呀?jīng)匹配過了，所以可以跳過第二次匹配，直接進(jìn)行第三次匹配，即前綴位置移到后綴位置，主串指針無需回溯，并繼續(xù)從該位開始比較。

  前綴：是指除最后一個(gè)字符外，字符串的所有頭部子串。
  后綴：是指除第一個(gè)字符外，字符串的所有尾部子串。
  部分匹配值$$(Partial(Partial(Partial $$Match,PM)Match,PM)Match,PM)：字符串的前綴和后綴的最長相等前后綴長度。
  例如，$$′a′'a'′a′的前綴和后綴都為空集，則最長公共前后綴長度為0；$$′ab′'ab'′ab′的前綴為$${a}\{a\}{a}，后綴為$${b}\{b\}，則最長公共前后綴為空集，其長度長度為0；$$′aba′'aba'′aba′的前綴為$${a,ab}\{a,ab\}{a,ab}，后綴為$${a,ba}\{a,ba\}{a,ba}，則最長公共前后綴為$${a}\{a\}{a}，其長度長度為1；$$′abab′'abab'′abab′的前綴為$${a,ab,aba}\{a,ab,aba\}{a,ab,aba}，后綴為$${b,ab,bab}\{b,ab,bab\}{b,ab,bab}，則最長公共前后綴為$${ab}\{ab\}{ab}，其長度長度為2。
  前綴一定包含第一個(gè)字符，后綴一定包含最后一個(gè)字符。

 如果模式串1號(hào)位與主串當(dāng)前位(箭頭所指的位置)不匹配，將模式串1號(hào)位與主串的下一位進(jìn)行比較。next[0]=-1，這邊就是一個(gè)特殊位置了，即如果主串與模式串的第1位不相同，那么下次就直接比較各第2位的字符。

 如果模式串2號(hào)位與主串當(dāng)前位不匹配，找最長公共前后綴，指針前面的子串為$$"A""A""A"，即最長公共前后綴為空集，其長度為0，則下次匹配時(shí)將模式串1號(hào)位與主串的當(dāng)前位進(jìn)行比較。next[1]=0

  如果模式串3號(hào)位與主串當(dāng)前位不匹配，找最長公共前后綴，指針前面的子串為$$"AB""AB""AB"，即最長公共前后綴為空集，其長度為0，則下次匹配時(shí)將模式串1號(hào)位與主串的當(dāng)前位進(jìn)行比較。next[2]=0

 如果模式串4號(hào)位與主串當(dāng)前位不匹配，找最長公共前后綴，指針前面的子串為$$"ABA""ABA""ABA"，即最長公共前后綴為$$"A""A""A"，其長度為1，則下次匹配時(shí)將前綴位置移到后綴位置，即模式串2號(hào)位與主串的當(dāng)前位進(jìn)行比較。next[3]=1

  如果模式串5號(hào)位與主串當(dāng)前位不匹配，找最長公共前后綴，指針前面的子串為$$"ABAA""ABAA""ABAA"，即最長公共前后綴為$$"A""A""A"，其長度為1，則下次匹配時(shí)將前綴位置移到后綴位置，即模式串2號(hào)位與主串的當(dāng)前位進(jìn)行比較。next[4]=1

  如果模式串6號(hào)位與主串當(dāng)前位不匹配，找最長公共前后綴，指針前面的子串為$$"ABAAB""ABAAB""ABAAB"，即最長公共前后綴為$$"AB""AB""AB"，其長度為2，則下次匹配時(shí)將前綴位置移到后綴位置，即模式串3號(hào)位與主串的當(dāng)前位進(jìn)行比較。next[5]=2

  如果模式串7號(hào)位與主串當(dāng)前位不匹配，找最長公共前后綴，指針前面的子串為$$"ABAABC""ABAABC""ABAABC"，即最長公共前后綴為空集，其長度為0，則下次匹配時(shí)將模式串1號(hào)位與主串的當(dāng)前位進(jìn)行比較。next[6]=0

如果模式串8號(hào)位與主串當(dāng)前位不匹配，找最長公共前后綴，指針前面的子串為$$"ABAABCA""ABAABCA""ABAABCA"，即最長公共前后綴為$$"A""A""A"，其長度為1，則下次匹配時(shí)將模式串2號(hào)位與主串的當(dāng)前位進(jìn)行比較。next[7]=1

  綜上，可以得到模式串的next數(shù)組，發(fā)現(xiàn)沒有，把主串去掉也可以得到這個(gè)數(shù)組，即下次匹配時(shí)模式串向后移動(dòng)的位數(shù)與主串無關(guān)，僅與模式串本身有關(guān)。

  next數(shù)組，即存放的是每個(gè)字符匹配失敗時(shí)，對(duì)應(yīng)的下一次匹配時(shí)模式串開始匹配的位置。

  如何在代碼里實(shí)現(xiàn)上述流程呢？舉個(gè)栗子，藍(lán)色方框圈出的就是公共前后綴，假設(shè)next[j]=t：

 當(dāng)$$Tj=TtT_j=T_tTj​=Tt​時(shí)，可以得到$$next[j+1]=t+1=next[j]+1next[j+1]=t+1=next[j]+1next[j+1]=t+1=next[j]+1。這個(gè)時(shí)候$$j=4,t=1j=4,t=1j=4,t=1(索引)；

  當(dāng)$$Tj≠TtT_j \neq T_tTj​​=Tt​時(shí)，即模式串$$ttt位置與主串(并不是真正的主串)不匹配，則將下面的那個(gè)模式串移動(dòng)到$$next[t]next[t]next[t]位置進(jìn)行比較，即$$t=next[t]t=next[t]t=next[t]，直到$$Tj=TtT_j=T_tTj​=Tt​或$$t=−1t=-1t=−1，當(dāng)$$t=−1t=-1t=−1時(shí)，$$next[j+1]=0next[j+1]=0next[j+1]=0。這里就是$$t=next[2]=0t=next[2]=0t=next[2]=0，即下次匹配時(shí)，模式串的第1位與主串當(dāng)前位進(jìn)行比較。

  代碼如下：

def getNext(substrT):
  next_list = [-1 for i in range(len(substrT))]
  j = 0
  t = -1
  while j < len(substrT) - 1:
    if t == -1 or substrT[j] == substrT[t]:
      j += 1
      t += 1
      # Tj=Tt, 則可以到的next[j+1]=t+1
      next_list[j] = t
    else:
      # Tj!=Tt, 模式串T索引為t的字符與當(dāng)前位進(jìn)行匹配
      t = next_list[t]
  return next_list


def KMP(substrS, substrT, next_list):
  count = 0
  j = 0
  t = 0
  while j < len(substrS) and t < len(substrT):
    if substrS[j] == substrT[t] or t == -1:
      # t == -1目的就是第一位匹配失敗時(shí)
      # 主串位置加1, 匹配串回到第一個(gè)位置(索引為0)
      # 匹配成功, 主串和模式串指針都后移一位
      j += 1
      t += 1
    else:
      # 匹配失敗, 模式串索引為t的字符與當(dāng)前位進(jìn)行比較
      count += 1
      t = next_list[t]
  if t == len(substrT):
    # 這里返回的是索引
    return j - t, count+1
  else:
    return -1, count+1

3. KMP算法優(yōu)化版

  上面定義的next數(shù)組在某些情況下還有些缺陷，發(fā)現(xiàn)沒有，在第一個(gè)圖中，我們還可以跳過第3次匹配，直接進(jìn)行第4次匹配。為了更好地說明問題，我們以下面這種情況為例，來優(yōu)化一下KMP算法。假設(shè)主串$$S=AAABAAAABS=AAABAAAABS=AAABAAAAB，模式串$$T=AAAABT=AAAABT=AAAAB，按照KMP算法，匹配過程如下：

 可以看到第2、3、4次的匹配是多余的，因?yàn)槲覀冊(cè)诘谝淮纹ヅ鋾r(shí)，主串$$SSS的4號(hào)位為模式串$$TTT的4號(hào)位就已經(jīng)比較了，且$$T3≠S3T_3 \neq S_3T3​​=S3​，又因?yàn)槟Ｊ酱?math>TTT的4號(hào)位與其1、2、3號(hào)位的字符一樣，即$$T3=T2=T1=T0≠S3T_3=T_2=T_1=T_0 \neq S_3T3​=T2​=T1​=T0​​=S3​，所以可以直接進(jìn)入第5次匹配。

  那么，問題出在哪里？？？我們結(jié)合著next數(shù)組看一下：

  問題在于，當(dāng)$$Tj≠SjT_j \neq S_jTj​​=Sj​時(shí)，下次匹配的必然是$$Tnext[j]T_{next[j]}Tnext[j]​與$$SjS_jSj​，如果這時(shí)$$Tnext[j]=TjT_{next[j]} = T_jTnext[j]​=Tj​，那么又相當(dāng)于$$TjT_jTj​與$$SjS_jSj​進(jìn)行比較，因?yàn)樗鼈兊淖址粯?，毫無疑問，這次匹配是沒有意義的，應(yīng)當(dāng)將$$next[j]next[j]next[j]的值直接賦值為-1，即遇到這種情況，主串與模式串都從下一位開始比較。

  所以，我們要修正一下next數(shù)組。

  大致流程和上面求解next數(shù)組時(shí)一樣，這里就是多了一個(gè)判別條件，如果在匹配時(shí)出現(xiàn)了$$Tnext[j]=TjT_{next[j]} = T_jTnext[j]​=Tj​，我們就將next[j]更新為next$$[\Big[[next[j]$$]\Big]]，直至兩者不相等為止(相當(dāng)于了迭代)。在代碼里面實(shí)現(xiàn)就是，如果某個(gè)字符已經(jīng)相等或者第一個(gè)next[j]數(shù)組值為-1(即$$t=−1t=-1t=−1)，且主串和模式串指針各后移一位時(shí)的字符仍然相同，那么就將當(dāng)前的next[j]值更新為上一個(gè)next[j]數(shù)組值，更新后的數(shù)組命名為nextval。

  代碼如下：

def getNextval(substrT):
  nextval_list = [-1 for i in range(len(substrT))]
  j = 0
  t = -1
  while j < len(substrT) - 1:
    if t == -1 or substrT[j] == substrT[t]:
      j += 1
      t += 1
      if substrT[j] != substrT[t]:
        # Tj=Tt, 但T(j+1)!=T(t+1), 這個(gè)就和next數(shù)組計(jì)算時(shí)是一樣的
        # 可以得到nextval[j+1]=t+1
        nextval_list[j] = t
      else:
        # Tj=Tt, 且T(j+1)==T(t+1), 這個(gè)就是next數(shù)組需要更新的
        # nextval[j+1]=上一次的nextval_list[t]
        nextval_list[j] = nextval_list[t]
    else:
      # 匹配失敗, 模式串索引為t的字符與當(dāng)前位進(jìn)行比較
      t = nextval_list[t]
  return nextval_list

  對(duì)KMP的優(yōu)化其實(shí)就是對(duì)next數(shù)組的優(yōu)化，修正后的next數(shù)組，即nextval數(shù)組如下：

  下面就測試一下：

if __name__ == '__main__':
  S1 = 'ABACABAB'
  T1 = 'ABAB'
  S2 = 'AAABAAAAB'
  T2 = 'AAAAB'

  print('*' * 50)
  print('主串S={0}與模式串T={1}進(jìn)行匹配'.format(S1, T1))

  print('{:*^25}'.format('KMP'))
  next_list1 = getNext(T1)
  print('next數(shù)組為: {}'.format(next_list1))
  index1_1, count1_1 = KMP(S1, T1, next_list1)
  print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次數(shù): {}'.format(index1_1, count1_1))

  print('{:*^25}'.format('KMP優(yōu)化版'))
  nextval_list1 = getNextval(T1)
  print('nextval數(shù)組為: {}'.format(nextval_list1))
  index1_2, count1_2 = KMP(S1, T1, nextval_list1)
  print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次數(shù): {}'.format(index1_2, count1_2))

  print('')
  print('*' * 50)
  print('主串S={0}與模式串T={1}進(jìn)行匹配'.format(S2, T2))

  print('{:*^25}'.format('KMP'))
  next_list2 = getNext(T2)
  print('next數(shù)組為: {}'.format(next_list2))
  index2_1, count2_1 = KMP(S2, T2, next_list2)
  print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次數(shù): {}'.format(index2_1, count2_1))

  print('{:*^25}'.format('KMP優(yōu)化版'))
  nextval_list2 = getNextval(T2)
  print('nextval數(shù)組為: {}'.format(nextval_list2))
  index2_2, count2_2 = KMP(S2, T2, nextval_list2)
  print('匹配到的位置(索引): {}, 匹配次數(shù): {}'.format(index2_2, count2_2))

  運(yùn)行結(jié)果如下：

  運(yùn)行的結(jié)果和我們分析的是一樣的，不修正next數(shù)組時(shí)，主串$$S=ABACABABS=ABACABABS=ABACABAB與模式串$$T=ABABT=ABABT=ABAB匹配時(shí)需要4次，主串$$S=AAABAAAABS=AAABAAAABS=AAABAAAAB與模式串$$T=AAAABT=AAAABT=AAAAB匹配時(shí)需要5次；修正next數(shù)組后，主串$$S=ABACABABS=ABACABABS=ABACABAB與模式串$$T=ABABT=ABABT=ABAB匹配時(shí)需要3次，主串$$S=AAABAAAABS=AAABAAAABS=AAABAAAAB與模式串$$T=AAAABT=AAAABT=AAAAB匹配時(shí)僅需要2次。

結(jié)束語

  在寫本篇博客之前也是反復(fù)看參考書、視頻，邊畫圖邊去理解它，這篇博客也是反復(fù)修改了好幾次，最終算是把KMP解決掉了，有關(guān)字符串知識(shí)的復(fù)習(xí)也算是基本結(jié)束，下面就是刷題了(雖然在LeetCode做過了幾道題)。

到此這篇關(guān)于Python描述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之KMP篇的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python KMP內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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