一、什么是樹

客觀世界中許多事物存在層次關(guān)系

人類社會家譜社會組織結(jié)構(gòu)圖書信息管理

其中，人類社會家譜如下圖所示：

通過上述所說的分層次組織，能夠使我們在數(shù)據(jù)的管理上有更高的效率！那么，對于數(shù)據(jù)管理的基本操作——查找，我們?nèi)绾螌崿F(xiàn)有效率的查找呢？

二、查找

查找：根據(jù)某個給定關(guān)鍵字K，從集合R中找出關(guān)鍵字與K相同的記錄

靜態(tài)查找：集合中記錄是固定的，即對集合的操作沒有插入和刪除，只有查找

動態(tài)查找：集合中記錄是動態(tài)變化的，即對集合的操作既有查找，還可能發(fā)生插入和刪除（動態(tài)查找不在我們考慮范圍內(nèi)）

2.1 靜態(tài)查找 2.1.1 方法1：順序查找

/* c語言實現(xiàn) */

int SequentialSearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
// 在表Tbl[1]~Tb1[n]中查找關(guān)鍵字為K的數(shù)據(jù)元素
 int i;
 Tbl->Element[0] = K; // 建立哨兵，即沒找到可以返回哨兵的索引0表示未找到
 for (i = Tbl->Length; Tbl->Element[i] != K; i--); // 查找成功返回所在單元下標；不成功放回0
 return i;
}

順序查找算法的時間復(fù)雜度為O(n)

2.1.2 方法2：二分查找（Binary Search）

假設(shè)n個數(shù)據(jù)元素的關(guān)鍵字滿足有序（比如：小到大），即\(k_1<k_2<\cdots<k_n\)，并且是連續(xù)存放（數(shù)組），那么可以進行二分查找。

例：假設(shè)有13個數(shù)據(jù)元素，按關(guān)鍵字由小到大順序存放。二分查找關(guān)鍵字為444的數(shù)據(jù)元素過程如下圖：

仍然以上面13個數(shù)據(jù)元素構(gòu)成的有序線性表為例，二分查找關(guān)鍵字為43的數(shù)據(jù)元素如下圖：

/* c語言實現(xiàn) */

int BinarySearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
 // 在表中Tbl中查找關(guān)鍵字為K的數(shù)據(jù)元素
 int left, right, mid, NoFound = -1;
 
 left = 1; // 初始左邊界
 right = Tbl->Length; // 初始右邊界
 while (left <= right)
 {
  mid = (left + right) / 2; // 計算中間元素坐標
  if (K < Tbl->Element[mid]) right = mid - 1; // 調(diào)整右邊界
  else if (K > Tbl->Element[mid]) left = mid + 1; // 調(diào)整左邊界
  else return mid; // 查找成功，返回數(shù)據(jù)元素的下標
 }
 return NotFound; // 查找不成功，返回-1
}

# python語言實現(xiàn)

def binary_chop(alist, data):
  n = len(alist)
  first = 0
  last = n - 1
  while first <= last:
    mid = (last + first) // 2
    if alist[mid] > data:
      last = mid - 1
    elif alist[mid] < data:
      first = mid + 1
    else:
      return True
  return False

二分查找算法具有對數(shù)的時間復(fù)雜度O(logN)

二分查找算法雖然解決了查找的時間復(fù)雜度問題，但是對于數(shù)據(jù)的插入和刪除確是O(n)的，因此有沒有一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，既可以減少數(shù)據(jù)查找的時間復(fù)雜度，又可以減少數(shù)據(jù)的插入和刪除的復(fù)雜度呢？

三、二分查找判定樹

除了使用上述兩個方法進行關(guān)鍵字的查找，我們還可以通過二叉樹這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)完成關(guān)鍵字的查找。

從上圖可以看出，如果我們需要尋找數(shù)字8，可以通過以下4步實現(xiàn)（可能看不懂，未來會看得懂）：

根節(jié)點6小于8，往6的右子節(jié)點9找結(jié)點9大于8，往9的左子結(jié)點7找結(jié)點7小于8，往7的左子結(jié)點找找到8 判定樹上每個結(jié)點需要的查找次數(shù)剛好為該結(jié)點所在的層數(shù)；查找成功時查找次數(shù)不會超過判定樹的深度 N個結(jié)點的判定樹的深度為\([log_2{n}]+1\) \(ASL = (4*4+4*3+2*2+1)/11 = 3\) 四、樹的定義

樹（Tree）：\(n(n\geq{0})\)個結(jié)點構(gòu)成的有限集合。

當(dāng)n=0時，稱為空樹對于任一顆非空樹（n>0），它具備以下性質(zhì)： 樹中有一個稱為根（Root）的特殊結(jié)點，用r表示其余結(jié)點可分為m（m>0）個互不相交的有限集\(T_1,T_2,\cdots,T_m\)，其中每個集合本身又是一棵樹，稱為原來樹的子樹（SubTree）

五、樹與非樹

牢記樹有以下3個特性：

子樹是不相交的；除了根結(jié)點外，每個結(jié)點有且僅有一個父結(jié)點；一顆N個結(jié)點的樹有N-1條邊 5.1 非樹

5.2 樹

六、樹的一些基本術(shù)語

結(jié)點的度（Degree）：結(jié)點的子樹個數(shù)樹的度：樹的所有結(jié)點中最大的度數(shù)葉結(jié)點（Leaf）： 度為0的結(jié)點父結(jié)點（Parent）：有子樹的結(jié)點是其子樹的根結(jié)點的父結(jié)點子結(jié)點（Child）：若A結(jié)點是B結(jié)點的父結(jié)點，則稱B結(jié)點是A結(jié)點的子結(jié)點；子結(jié)點也稱孩子結(jié)點

兄弟結(jié)點（Sibling）：具有同一父結(jié)點的各結(jié)點彼此是兄弟結(jié)點

路徑和路徑長度：從結(jié)點\(n_1\)到\(n_k\)的路徑為一個結(jié)點序列\(zhòng)(n_1 , n_2 ,\cdots, n_k\) , \(n_i\)是\(n_{i+1}\)的父結(jié)點。路徑所包含邊的個數(shù)為路徑的長度

祖先結(jié)點(Ancestor)：沿樹根到某一結(jié)點路徑上的所有結(jié)點都是這個結(jié)點的祖先結(jié)點

子孫結(jié)點(Descendant)：某一結(jié)點的子樹中的所有結(jié)點是這個結(jié)點的子孫

結(jié)點的層次（Level）：規(guī)定根結(jié)點在1層，其它任一結(jié)點的層數(shù)是其父結(jié)點的層數(shù)加1

樹的深度（Depth）：樹中所有結(jié)點中的最大層次是這棵樹的深度

七、樹的表示

7.1 樹的鏈表表示

上圖所示樹的鏈表表示法有很大的缺陷，假設(shè)樹的深度非常大，并且不能保證所有樹的子結(jié)點都有3個，那么會造成很大程度的浪費。

7.2 樹的鏈表（兒子-兄弟）表示法

為了解決樹的普通鏈表表示會有空間的浪費的缺陷，我們可以把鏈表的指針設(shè)置兩個鏈接，一個鏈接指向兒子結(jié)點，另一個鏈接指向兄弟結(jié)點，如下圖所示：

上圖所示的樹的表示方法，已經(jīng)足夠完美了，但是如果我們把鏈表表示的樹旋轉(zhuǎn)45°角，會發(fā)現(xiàn)如下圖所示：

經(jīng)過45°角的旋轉(zhuǎn)，我們會發(fā)現(xiàn)一顆二叉樹（一個結(jié)點至多擁有2個子結(jié)點的樹），也就是說最普通的樹其實可以通過二叉樹表示，也就是說我們只要把二叉樹研究透了，我們即研究透了樹。

以上就是本次全部相關(guān)知識點內(nèi)容，感謝大家的閱讀和對腳本之家的支持。

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