前言

異或是一種基于二進(jìn)制的位運(yùn)算，用符號(hào)XOR或者 ^ 表示，其運(yùn)算法則是對(duì)運(yùn)算符兩側(cè)數(shù)的每一個(gè)二進(jìn)制位，同值取0，異值取1。

性質(zhì)

1、交換律

2、結(jié)合律（即(a^b)^c == a^(b^c)）

3、對(duì)于任何數(shù)x，都有x^x=0，x^0=x

4、自反性 A XOR B XOR B = A XOR 0 = A

異或運(yùn)算最常見(jiàn)于多項(xiàng)式除法，不過(guò)它最重要的性質(zhì)還是自反性：A XOR B XOR B = A，即對(duì)給定的數(shù)A，用同樣的運(yùn)算因子（B）作兩次異或運(yùn)算后仍得到A本身。這是一個(gè)神奇的性質(zhì)，利用這個(gè)性質(zhì)，可以獲得許多有趣的應(yīng)用。 例如，所有的程序教科書(shū)都會(huì)向初學(xué)者指出，要交換兩個(gè)變量的值，必須要引入一個(gè)中間變量。但如果使用異或，就可以節(jié)約一個(gè)變量的存儲(chǔ)空間： 設(shè)有A,B兩個(gè)變量，存儲(chǔ)的值分別為a，b，則以下三行表達(dá)式將互換他們的值 表達(dá)式 （值） ：

 A=A XOR B (a XOR b)
 B=B XOR A (b XOR a XOR b = a)
 A=A XOR B (a XOR b XOR a = b)

例：

int a = 10, b = 5
a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;

 類似地，該運(yùn)算還可以應(yīng)用在加密，數(shù)據(jù)傳輸，校驗(yàn)等等許多領(lǐng)域。

應(yīng)用舉例：1-1000放在含有1001個(gè)元素的數(shù)組中，只有唯一的一個(gè)元素值重復(fù)，其它均只出現(xiàn)一次。每個(gè)數(shù)組元素只能訪問(wèn)一次，設(shè)計(jì)一個(gè)算法，將它找出來(lái)；不用輔助存儲(chǔ)空間，能否設(shè)計(jì)一個(gè)算法實(shí)現(xiàn)？

解法一、顯然已經(jīng)有人提出了一個(gè)比較精彩的解法，將所有數(shù)加起來(lái)，減去1+2+...+1000的和。這個(gè)算法已經(jīng)足夠完美了，相信出題者的標(biāo)準(zhǔn)答案也就是這個(gè)算法，唯一的問(wèn)題是，如果數(shù)列過(guò)大，則可能會(huì)導(dǎo)致溢出。

解法二、異或就沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題，并且性能更好。將所有的數(shù)全部異或，得到的結(jié)果與1^2^3^...^1000的結(jié)果進(jìn)行異或，得到的結(jié)果就是重復(fù)數(shù)。

但是這個(gè)算法雖然很簡(jiǎn)單，但證明起來(lái)并不是一件容易的事情。這與異或運(yùn)算的幾個(gè)特性有關(guān)系。首先是異或運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律。

所以，1^2^...^n^...^n^...^1000，無(wú)論這兩個(gè)n出現(xiàn)在什么位置，都可以轉(zhuǎn)換成為1^2^...^1000^(n^n)的形式。
其次，對(duì)于任何數(shù)x，都有x^x=0，x^0=x。

所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有數(shù)的異或）。
令，1^2^...^1000（序列中不包含n）的結(jié)果為T(mén)

則1^2^...^1000（序列中包含n）的結(jié)果就是T^n。

T^(T^n)=n。

所以，將所有的數(shù)全部異或，得到的結(jié)果與1^2^3^...^1000的結(jié)果進(jìn)行異或，得到的結(jié)果就是重復(fù)數(shù)。

當(dāng)然有人會(huì)說(shuō)，1+2+...+1000的結(jié)果有高斯定律可以快速計(jì)算，但實(shí)際上1^2^...^1000的結(jié)果也是有規(guī)律的，算法比高斯定律還該簡(jiǎn)單的多。

google面試題的變形：一個(gè)數(shù)組存放若干整數(shù)，一個(gè)數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次，其余數(shù)均出現(xiàn)偶數(shù)次，找出這個(gè)出現(xiàn)奇數(shù)次的數(shù)？

public void fun() {
　　int a[] = { 22, 38,38, 22,22, 4, 4, 11, 11 };
　　int temp = 0;
　　for (int i = 0; i < a.length; i++) {
　　　　temp ^= a[i];
　　}
　　System.out.println(temp);
}

解法有很多，但是最好的和上面一樣，就是把所有數(shù)異或，最后結(jié)果就是要找的，原理同上??！

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這樣可以實(shí)現(xiàn)不引人第三個(gè)變量實(shí)現(xiàn)交換，但是進(jìn)行的計(jì)算相對(duì)第三個(gè)變量多，所以效率會(huì)低一些。

關(guān)于其他的方法還有：int a=5,b=10;
a=a+b;   //a=15,b=10
b=a-b;   //a=15,b=5
a=a-b;   //a=10,b=5

但是這樣做有一個(gè)缺陷，假設(shè)它運(yùn)行在vc6環(huán)境中，那么int的大小是4 Bytes，所以int變量所存放的最大值是2^31-1即2147483647，如果我們令a的值為2147483000，b的值為1000000000，那么a和b相加就越界了。

事實(shí)上，從實(shí)際的運(yùn)行統(tǒng)計(jì)上看，我們發(fā)現(xiàn)要交換的兩個(gè)變量，是同號(hào)的概率很大，而且，他們之間相減，越界的情況也很少，因此我們可以把上面的加減法互換，這樣使得程序出錯(cuò)的概率減少：

int a=5,b=10;
a -= b;   //a=-5,b=10
b += a;   //b=5,a=-5
a = b - a;   //a=10,b=5

通過(guò)以上運(yùn)算，a和b中的值就進(jìn)行了交換。表面上看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但是不容易想到，尤其是在習(xí)慣引入第三變量的算法之后。
它的原理是：把a(bǔ)、b看做數(shù)軸上的點(diǎn)，圍繞兩點(diǎn)間的距離來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

具體過(guò)程：第一句“a-=b”求出ab兩點(diǎn)的距離，并且將其保存在a中；第二句“b+=a”求出a到原點(diǎn)的距離（b到原點(diǎn)的距離與ab兩點(diǎn)距離之差），并且將其保存在b中；第三句“a+=b”求出b到原點(diǎn)的距離（a到原點(diǎn)距離與ab兩點(diǎn)距離之和），并且將其保存在a中。完成交換。

下面順便介紹交換兩個(gè)數(shù) 的三種方法：

總結(jié)

以上就是這篇文章的全部?jī)?nèi)容了，希望本文的內(nèi)容對(duì)大家的學(xué)習(xí)或者工作具有一定的參考學(xué)習(xí)價(jià)值，謝謝大家對(duì)腳本之家的支持。

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