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java實(shí)現(xiàn)最短路徑算法之Dijkstra算法

 更新時(shí)間:2017年10月12日 10:31:05   作者:轉(zhuǎn)瞬之夏  
這篇文章主要介紹了java實(shí)現(xiàn)最短路徑算法之Dijkstra算法, Dijkstra算法是最短路徑算法中為人熟知的一種,是單起點(diǎn)全路徑算法,有興趣的可以了解一下

前言

Dijkstra算法是最短路徑算法中為人熟知的一種,是單起點(diǎn)全路徑算法。該算法被稱為是“貪心算法”的成功典范。本文接下來(lái)將嘗試以最通俗的語(yǔ)言來(lái)介紹這個(gè)偉大的算法,并賦予java實(shí)現(xiàn)代碼。

一、知識(shí)準(zhǔn)備:

1、表示圖的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

用于存儲(chǔ)圖的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有多種,本算法中筆者使用的是鄰接矩陣。

圖的鄰接矩陣存儲(chǔ)方式是用兩個(gè)數(shù)組來(lái)表示圖。一個(gè)一維數(shù)組存儲(chǔ)圖中頂點(diǎn)信息,一個(gè)二維數(shù)組(鄰接矩陣)存儲(chǔ)圖中的邊或弧的信息。

設(shè)圖G有n個(gè)頂點(diǎn),則鄰接矩陣是一個(gè)n*n的方陣,定義為:

從上面可以看出,無(wú)向圖的邊數(shù)組是一個(gè)對(duì)稱矩陣。所謂對(duì)稱矩陣就是n階矩陣的元滿足aij = aji。即從矩陣的左上角到右下角的主對(duì)角線為軸,右上角的元和左下角相對(duì)應(yīng)的元全都是相等的。

從這個(gè)矩陣中,很容易知道圖中的信息。

(1)要判斷任意兩頂點(diǎn)是否有邊無(wú)邊就很容易了;

(2)要知道某個(gè)頂點(diǎn)的度,其實(shí)就是這個(gè)頂點(diǎn)vi在鄰接矩陣中第i行或(第i列)的元素之和;

(3)求頂點(diǎn)vi的所有鄰接點(diǎn)就是將矩陣中第i行元素掃描一遍,arc[i][j]為1就是鄰接點(diǎn);

而有向圖講究入度和出度,頂點(diǎn)vi的入度為1,正好是第i列各數(shù)之和。頂點(diǎn)vi的出度為2,即第i行的各數(shù)之和。

有向圖的定義也類似,故不做贅述。

2、單起點(diǎn)全路徑

所謂單起點(diǎn)全路徑,就是指在一個(gè)圖中,從一個(gè)起點(diǎn)出發(fā),到所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。 

3、圖論的基本知識(shí)(讀者需自行尋找相關(guān)資料)

4、互補(bǔ)松弛條件

設(shè)標(biāo)量d1,d2,....,dN滿足

dj<=di + aij,  (i,j)屬于A,

且P是以i1為起點(diǎn)ik為終點(diǎn)的路,如果

dj = di + aij, 對(duì)P的所有邊(i, j)

成立,那么P是從i1到ik的最短路。其中,滿足上面兩式的被稱為最短路問(wèn)題的互補(bǔ)松弛條件。

二、算法思想

1、令G = (V,E)為一個(gè)帶權(quán)無(wú)向圖。G中若有兩個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn),i和j。aij(在這及其后面都表示為下標(biāo),請(qǐng)注意)為節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的權(quán)值,在本算法可以理解為距離。每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)值di(節(jié)點(diǎn)標(biāo)記)表示其從起點(diǎn)到它的某條路的距離。

2、算法初始有一個(gè)數(shù)組V用于儲(chǔ)存未訪問(wèn)節(jié)點(diǎn)的列表,我們暫稱為候選列表。選定節(jié)點(diǎn)1為起始節(jié)點(diǎn)。開(kāi)始時(shí),節(jié)點(diǎn)1的d1=0, 其他節(jié)點(diǎn)di=無(wú)窮大,V為所有節(jié)點(diǎn)。
初始化條件后,然后開(kāi)始迭代算法,直到V為空集時(shí)停止。具體迭代步驟如下:

將d值最小的節(jié)點(diǎn)di從候選列表中移除。(本例中V的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)采用的是優(yōu)先隊(duì)列實(shí)現(xiàn)最小值出列,最好使用斐波那契對(duì),在以前文章有過(guò)介紹,性能有大幅提示)。對(duì)于以該節(jié)點(diǎn)為起點(diǎn)的每一條邊,不包括移除V的節(jié)點(diǎn), (i, j)屬于A, 若dj > di + aij(違反松弛條件),則令

dj = di + aij    , (如果j已經(jīng)從V中移除過(guò),說(shuō)明其最小距離已經(jīng)計(jì)算出,不參與此次計(jì)算)

可以看到在算法的運(yùn)算工程中,節(jié)點(diǎn)的d值是單調(diào)不增的

具體算法圖解如下

  

三、java代碼實(shí)現(xiàn)

public class Vertex implements Comparable<Vertex>{

  /**
   * 節(jié)點(diǎn)名稱(A,B,C,D)
   */
  private String name;
  
  /**
   * 最短路徑長(zhǎng)度
   */
  private int path;
  
  /**
   * 節(jié)點(diǎn)是否已經(jīng)出列(是否已經(jīng)處理完畢)
   */
  private boolean isMarked;
  
  public Vertex(String name){
    this.name = name;
    this.path = Integer.MAX_VALUE; //初始設(shè)置為無(wú)窮大
    this.setMarked(false);
  }
  
  public Vertex(String name, int path){
    this.name = name;
    this.path = path;
    this.setMarked(false);
  }
  
  @Override
  public int compareTo(Vertex o) {
    return o.path > path?-1:1;
  }
}

public class Graph {

  /*
   * 頂點(diǎn)
   */
  private List<Vertex> vertexs;

  /*
   * 邊
   */
  private int[][] edges;

  /*
   * 沒(méi)有訪問(wèn)的頂點(diǎn)
   */
  private Queue<Vertex> unVisited;

  public Graph(List<Vertex> vertexs, int[][] edges) {
    this.vertexs = vertexs;
    this.edges = edges;
    initUnVisited();
  }
  
  /*
   * 搜索各頂點(diǎn)最短路徑
   */
  public void search(){
    while(!unVisited.isEmpty()){
      Vertex vertex = unVisited.element();
      //頂點(diǎn)已經(jīng)計(jì)算出最短路徑,設(shè)置為"已訪問(wèn)"
       vertex.setMarked(true);  
      //獲取所有"未訪問(wèn)"的鄰居
        List<Vertex> neighbors = getNeighbors(vertex);  
      //更新鄰居的最短路徑
      updatesDistance(vertex, neighbors);    
      pop();
    }
    System.out.println("search over");
  }
  
  /*
   * 更新所有鄰居的最短路徑
   */
  private void updatesDistance(Vertex vertex, List<Vertex> neighbors){
    for(Vertex neighbor: neighbors){
      updateDistance(vertex, neighbor);
    }
  }
  
  /*
   * 更新鄰居的最短路徑
   */
  private void updateDistance(Vertex vertex, Vertex neighbor){
    int distance = getDistance(vertex, neighbor) + vertex.getPath();
    if(distance < neighbor.getPath()){
      neighbor.setPath(distance);
    }
  }

  /*
   * 初始化未訪問(wèn)頂點(diǎn)集合
   */
  private void initUnVisited() {
    unVisited = new PriorityQueue<Vertex>();
    for (Vertex v : vertexs) {
      unVisited.add(v);
    }
  }

  /*
   * 從未訪問(wèn)頂點(diǎn)集合中刪除已找到最短路徑的節(jié)點(diǎn)
   */
  private void pop() {
    unVisited.poll();
  }

  /*
   * 獲取頂點(diǎn)到目標(biāo)頂點(diǎn)的距離
   */
  private int getDistance(Vertex source, Vertex destination) {
    int sourceIndex = vertexs.indexOf(source);
    int destIndex = vertexs.indexOf(destination);
    return edges[sourceIndex][destIndex];
  }

  /*
   * 獲取頂點(diǎn)所有(未訪問(wèn)的)鄰居
   */
  private List<Vertex> getNeighbors(Vertex v) {
    List<Vertex> neighbors = new ArrayList<Vertex>();
    int position = vertexs.indexOf(v);
    Vertex neighbor = null;
    int distance;
    for (int i = 0; i < vertexs.size(); i++) {
      if (i == position) {
        //頂點(diǎn)本身,跳過(guò)
        continue;
      }
      distance = edges[position][i];  //到所有頂點(diǎn)的距離
      if (distance < Integer.MAX_VALUE) {
        //是鄰居(有路徑可達(dá))
        neighbor = getVertex(i);
        if (!neighbor.isMarked()) {
          //如果鄰居沒(méi)有訪問(wèn)過(guò),則加入list;
          neighbors.add(neighbor);
        }
      }
    }
    return neighbors;
  }

  /*
   * 根據(jù)頂點(diǎn)位置獲取頂點(diǎn)
   */
  private Vertex getVertex(int index) {
    return vertexs.get(index);
  }

  /*
   * 打印圖
   */
  public void printGraph() {
    int verNums = vertexs.size();
    for (int row = 0; row < verNums; row++) {
      for (int col = 0; col < verNums; col++) {
        if(Integer.MAX_VALUE == edges[row][col]){
          System.out.print("X");
          System.out.print(" ");
          continue;
        }
        System.out.print(edges[row][col]);
        System.out.print(" ");
      }
      System.out.println();
    }
  }
}

public class Test {

  public static void main(String[] args){
    List<Vertex> vertexs = new ArrayList<Vertex>();
    Vertex a = new Vertex("A", 0);
    Vertex b = new Vertex("B");
    Vertex c = new Vertex("C");
    Vertex d = new Vertex("D");
    Vertex e = new Vertex("E");
    Vertex f = new Vertex("F");
    vertexs.add(a);
    vertexs.add(b);
    vertexs.add(c);
    vertexs.add(d);
    vertexs.add(e);
    vertexs.add(f);
    int[][] edges = {
        {Integer.MAX_VALUE,6,3,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE},
        {6,Integer.MAX_VALUE,2,5,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE},
        {3,2,Integer.MAX_VALUE,3,4,Integer.MAX_VALUE},
        {Integer.MAX_VALUE,5,3,Integer.MAX_VALUE,5,3},
        {Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,4,5,Integer.MAX_VALUE,5},
        {Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,3,5,Integer.MAX_VALUE}
    
    };
    Graph graph = new Graph(vertexs, edges);
    graph.printGraph();
    graph.search();
  }
  
}

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