堆是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的一種重要結(jié)構(gòu)，了解“堆”的概念和操作，可以幫助我們快速地掌握堆排序。

堆的概念

堆是一種特殊的完全二叉樹(shù)（complete binary tree）。如果一棵完全二叉樹(shù)的所有節(jié)點(diǎn)的值都不小于其子節(jié)點(diǎn)，稱(chēng)之為大根堆（或大頂堆）；所有節(jié)點(diǎn)的值都不大于其子節(jié)點(diǎn)，稱(chēng)之為小根堆（或小頂堆）。

在數(shù)組（在0號(hào)下標(biāo)存儲(chǔ)根節(jié)點(diǎn)）中，容易得到下面的式子（這兩個(gè)式子很重要）：

1.下標(biāo)為i的節(jié)點(diǎn)，父節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(i-1)/2；

2.下標(biāo)為i的節(jié)點(diǎn)，左子節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為2*i+1，右子節(jié)點(diǎn)為2*i+2。

堆的建立和維護(hù)

堆可以支持多種操作，但現(xiàn)在我們關(guān)心的只有兩個(gè)問(wèn)題：

1.給定一個(gè)無(wú)序數(shù)組，如何建立為堆？

2.刪除堆頂元素后，如何調(diào)整數(shù)組成為新堆？

先看第二個(gè)問(wèn)題。假定我們已經(jīng)有一個(gè)現(xiàn)成的大根堆。現(xiàn)在我們刪除了根元素，但并沒(méi)有移動(dòng)別的元素。想想發(fā)生了什么：根元素空了，但其它元素還保持著堆的性質(zhì)。我們可以把最后一個(gè)元素（代號(hào)A）移動(dòng)到根元素的位置。如果不是特殊情況，則堆的性質(zhì)被破壞。但這僅僅是由于A小于其某個(gè)子元素。于是，我們可以把A和這個(gè)子元素調(diào)換位置。如果A大于其所有子元素，則堆調(diào)整好了；否則，重復(fù)上述過(guò)程，A元素在樹(shù)形結(jié)構(gòu)中不斷“下沉”，直到合適的位置，數(shù)組重新恢復(fù)堆的性質(zhì)。上述過(guò)程一般稱(chēng)為“篩選”，方向顯然是自上而下。

刪除一個(gè)元素是如此，插入一個(gè)新元素也是如此。不同的是，我們把新元素放在末尾，然后和其父節(jié)點(diǎn)做比較，即自下而上篩選。

那么，第一個(gè)問(wèn)題怎么解決呢？

我看過(guò)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的書(shū)很多都是從第一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)向下篩選，直到根元素篩選完畢。這個(gè)方法叫“篩選法”，需要循環(huán)篩選n/2個(gè)元素。

但我們還可以借鑒“無(wú)中生有”的思路。我們可以視第一個(gè)元素為一個(gè)堆，然后不斷向其中添加新元素。這個(gè)方法叫做“插入法”，需要循環(huán)插入(n-1)個(gè)元素。

由于篩選法和插入法的方式不同，所以，相同的數(shù)據(jù)，它們建立的堆一般不同。

大致了解堆之后，堆排序就是水到渠成的事情了。

算法概述/思路

我們需要一個(gè)升序的序列，怎么辦呢？我們可以建立一個(gè)最小堆，然后每次輸出根元素。但是，這個(gè)方法需要額外的空間（否則將造成大量的元素移動(dòng)，其復(fù)雜度會(huì)飆升到O(n^2)）。如果我們需要就地排序（即不允許有O(n)空間復(fù)雜度），怎么辦？
有辦法。我們可以建立最大堆，然后我們倒著輸出，在最后一個(gè)位置輸出最大值，次末位置輸出次大值……由于每次輸出的最大元素會(huì)騰出第一個(gè)空間，因此，我們恰好可以放置這樣的元素而不需要額外空間。很漂亮的想法，是不是？

public class HeapSort 
{
  public static void main(String[] args) 
  {
    int[] arr = { 50, 10, 90, 30, 70, 40, 80, 60, 20 };
    System.out.println("排序之前："); 
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) 
      System.out.print(arr[i] + " "); 
    
    // 堆排序
    heapSort(arr); 
    System.out.println(); 
    System.out.println("排序之后："); 
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) 
      System.out.print(arr[i] + " ");
  }
  
  /** 
  * 堆排序 
  */
  private static void heapSort(int[] arr) 
  {
    // 將待排序的序列構(gòu)建成一個(gè)大頂堆 
    for (int i = arr.length / 2; i >= 0; i--)
      heapAdjust(arr, i, arr.length);
    
    // 逐步將每個(gè)最大值的根節(jié)點(diǎn)與末尾元素交換，并且再調(diào)整二叉樹(shù)，使其成為大頂堆 
    for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--)
    {
      swap(arr, 0, i); // 將堆頂記錄和當(dāng)前未經(jīng)排序子序列的最后一個(gè)記錄交換 
      heapAdjust(arr, 0, i); // 交換之后，需要重新檢查堆是否符合大頂堆，不符合則要調(diào)整
    }
  }
  /** 
  * 構(gòu)建堆的過(guò)程 
  * @param arr 需要排序的數(shù)組 
  * @param i 需要構(gòu)建堆的根節(jié)點(diǎn)的序號(hào) 
  * @param n 數(shù)組的長(zhǎng)度 
  */
  private static void heapAdjust(int[] arr, int i, int n) 
  {
    int child;
    int father;
    for (father = arr[i]; leftChild(i) < n; i = child)
    {
      child = leftChild(i);
      // 如果左子樹(shù)小于右子樹(shù)，則需要比較右子樹(shù)和父節(jié)點(diǎn) 
      if (child != n - 1 && arr[child] < arr[child + 1])
        child++; // 序號(hào)增1，指向右子樹(shù)
      // 如果父節(jié)點(diǎn)小于孩子結(jié)點(diǎn)，則需要交換 
      if (father < arr[child]) 
        arr[i] = arr[child];
      else
        break; // 大頂堆結(jié)構(gòu)未被破壞，不需要調(diào)整
    }
    arr[i] = father;
  }
  
  // 獲取到左孩子結(jié)點(diǎn) 
  private static int leftChild(int i) 
  {
    return 2 * i + 1;
  }
  
  // 交換元素位置 
  private static void swap(int[] arr, int index1, int index2) 
  {
    int tmp = arr[index1];
    arr[index1] = arr[index2];
    arr[index2] = tmp;
  }
}

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