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梯度下降法介紹及利用Python實現的方法示例

更新時間：2017年07月12日 08:39:19 作者：yhao浩

梯度下降算法是一個很基本的算法，在機器學習和優(yōu)化中有著非常重要的作用，下面這篇文章主要給大家介紹了關于利用Python實現梯度下降法的相關資料，對大家具有一定的參考學習價值，需要的朋友們下面來一起看看吧。

本文主要給大家介紹了梯度下降法及利用Python實現的相關內容，分享出來供大家參考學習，下面話不多說，來一起看看詳細的介紹吧。

梯度下降法介紹

梯度下降法（gradient descent），又名最速下降法（steepest descent）是求解無約束最優(yōu)化問題最常用的方法，它是一種迭代方法，每一步主要的操作是求解目標函數的梯度向量，將當前位置的負梯度方向作為搜索方向（因為在該方向上目標函數下降最快，這也是最速下降法名稱的由來）。

梯度下降法特點：越接近目標值，步長越小，下降速度越慢。

直觀上來看如下圖所示：

這里每一個圈代表一個函數梯度，最中心表示函數極值點，每次迭代根據當前位置求得的梯度（用于確定搜索方向以及與步長共同決定前進速度）和步長找到一個新的位置，這樣不斷迭代最終到達目標函數局部最優(yōu)點（如果目標函數是凸函數，則到達全局最優(yōu)點）。

下面我們將通過公式來具體說明梯度下降法

下面這個h(θ)是我們的擬合函數

也可以用向量的形式進行表示：

下面函數是我們需要進行最優(yōu)化的風險函數，其中的每一項都表示在已有的訓練集上我們的擬合函數與y之間的殘差，計算其平方損失函數作為我們構建的風險函數（參見最小二乘法及其Python實現）

這里我們乘上1/2是為了方便后面求偏導數時結果更加簡潔，之所以能乘上1/2是因為乘上這個系數后對求解風險函數最優(yōu)值沒有影響。

我們的目標就是要最小化風險函數，使得我們的擬合函數能夠最大程度的對目標函數y進行擬合，即：

后面的具體梯度求解都是圍繞這個目標來進行。

批量梯度下降BGD

按照傳統(tǒng)的思想，我們需要對上述風險函數中的每個求其偏導數，得到每個對應的梯度

這里表示第i個樣本點的第j分量，即h(θ)中的

接下來由于我們要最小化風險函數，故按照每個參數的負梯度方向來更新每一個

這里的α表示每一步的步長

從上面公式可以注意到，它得到的是一個全局最優(yōu)解，但是每迭代一步，都要用到訓練集所有的數據，如果m很大，那么可想而知這種方法的迭代速度！！所以，這就引入了另外一種方法，隨機梯度下降。

隨機梯度下降SGD

因為批量梯度下降在訓練集很大的情況下迭代速度非常之慢，所以在這種情況下再使用批量梯度下降來求解風險函數的最優(yōu)化問題是不具有可行性的，在此情況下，提出了——隨機梯度下降
我們將上述的風險函數改寫成以下形式：

其中，

稱為樣本點的損失函數

接下來我們對每個樣本的損失函數，對每個求其偏導數，得到每個對應的梯度

然后根據每個參數的負梯度方向來更新每一個

與批量梯度下降相比，隨機梯度下降每次迭代只用到了一個樣本，在樣本量很大的情況下，常見的情況是只用到了其中一部分樣本數據即可將θ迭代到最優(yōu)解。因此隨機梯度下降比批量梯度下降在計算量上會大大減少。

SGD有一個缺點是，其噪音較BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向著整體最優(yōu)化方向。而且SGD因為每次都是使用一個樣本進行迭代，因此最終求得的最優(yōu)解往往不是全局最優(yōu)解，而只是局部最優(yōu)解。但是大的整體的方向是向全局最優(yōu)解的，最終的結果往往是在全局最優(yōu)解附近。

下面是兩種方法的圖形展示：

從上述圖形可以看出，SGD因為每次都是用一個樣本點進行梯度搜索，因此其最優(yōu)化路徑看上去比較盲目（這也是隨機梯度下降名字的由來）。

對比其優(yōu)劣點如下：

批量梯度下降：

優(yōu)點：全局最優(yōu)解；易于并行實現；總體迭代次數不多

缺點：當樣本數目很多時，訓練過程會很慢，每次迭代需要耗費大量的時間。

隨機梯度下降：

優(yōu)點：訓練速度快，每次迭代計算量不大

缺點：準確度下降，并不是全局最優(yōu)；不易于并行實現；總體迭代次數比較多。

Python實現方法示例

上面我們講解了什么是梯度下降法，以及如何求解梯度下降，下面我們將通過python來實現梯度下降法。

# _*_ coding: utf-8 _*_ 
# 作者: yhao 
# 博客: http://blog.csdn.net/yhao2014 
# 郵箱: yanhao07@sina.com 
 
# 訓練集 
# 每個樣本點有3個分量 (x0,x1,x2) 
x = [(1, 0., 3), (1, 1., 3), (1, 2., 3), (1, 3., 2), (1, 4., 4)] 
# y[i] 樣本點對應的輸出 
y = [95.364, 97.217205, 75.195834, 60.105519, 49.342380] 
 
# 迭代閥值，當兩次迭代損失函數之差小于該閥值時停止迭代 
epsilon = 0.0001 
 
# 學習率 
alpha = 0.01 
diff = [0, 0] 
max_itor = 1000 
error1 = 0 
error0 = 0 
cnt = 0 
m = len(x) 
 
 
# 初始化參數 
theta0 = 0 
theta1 = 0 
theta2 = 0 
 
while True: 
 cnt += 1 
 
 # 參數迭代計算 
 for i in range(m): 
 # 擬合函數為 y = theta0 * x[0] + theta1 * x[1] +theta2 * x[2] 
 # 計算殘差 
 diff[0] = (theta0 + theta1 * x[i][1] + theta2 * x[i][2]) - y[i] 
 
 # 梯度 = diff[0] * x[i][j] 
 theta0 -= alpha * diff[0] * x[i][0] 
 theta1 -= alpha * diff[0] * x[i][1] 
 theta2 -= alpha * diff[0] * x[i][2] 
 
 # 計算損失函數 
 error1 = 0 
 for lp in range(len(x)): 
 error1 += (y[lp]-(theta0 + theta1 * x[lp][1] + theta2 * x[lp][2]))**2/2 
 
 if abs(error1-error0) < epsilon: 
 break 
 else: 
 error0 = error1 
 
 print ' theta0 : %f, theta1 : %f, theta2 : %f, error1 : %f' % (theta0, theta1, theta2, error1) 
print 'Done: theta0 : %f, theta1 : %f, theta2 : %f' % (theta0, theta1, theta2) 
print '迭代次數: %d' % cnt

結果（截取部分）：

 theta0 : 2.782632, theta1 : 3.207850, theta2 : 7.998823, error1 : 7.508687 
 theta0 : 4.254302, theta1 : 3.809652, theta2 : 11.972218, error1 : 813.550287 
 theta0 : 5.154766, theta1 : 3.351648, theta2 : 14.188535, error1 : 1686.507256 
 theta0 : 5.800348, theta1 : 2.489862, theta2 : 15.617995, error1 : 2086.492788 
 theta0 : 6.326710, theta1 : 1.500854, theta2 : 16.676947, error1 : 2204.562407 
 theta0 : 6.792409, theta1 : 0.499552, theta2 : 17.545335, error1 : 2194.779569 
 theta0 : 74.892395, theta1 : -13.494257, theta2 : 8.587471, error1 : 87.700881 
 theta0 : 74.942294, theta1 : -13.493667, theta2 : 8.571632, error1 : 87.372640 
 theta0 : 74.992087, theta1 : -13.493079, theta2 : 8.555828, error1 : 87.045719 
 theta0 : 75.041771, theta1 : -13.492491, theta2 : 8.540057, error1 : 86.720115 
 theta0 : 75.091349, theta1 : -13.491905, theta2 : 8.524321, error1 : 86.395820 
 theta0 : 75.140820, theta1 : -13.491320, theta2 : 8.508618, error1 : 86.072830 
 theta0 : 75.190184, theta1 : -13.490736, theta2 : 8.492950, error1 : 85.751139 
 theta0 : 75.239442, theta1 : -13.490154, theta2 : 8.477315, error1 : 85.430741 
 theta0 : 97.986390, theta1 : -13.221172, theta2 : 1.257259, error1 : 1.553781 
 theta0 : 97.986505, theta1 : -13.221170, theta2 : 1.257223, error1 : 1.553680 
 theta0 : 97.986620, theta1 : -13.221169, theta2 : 1.257186, error1 : 1.553579 
 theta0 : 97.986735, theta1 : -13.221167, theta2 : 1.257150, error1 : 1.553479 
 theta0 : 97.986849, theta1 : -13.221166, theta2 : 1.257113, error1 : 1.553379 
 theta0 : 97.986963, theta1 : -13.221165, theta2 : 1.257077, error1 : 1.553278 
Done: theta0 : 97.987078, theta1 : -13.221163, theta2 : 1.257041 
迭代次數: 3443

可以看到最后收斂到穩(wěn)定的參數值。

注意：這里在選取alpha和epsilon時需要謹慎選擇，可能不適的值會導致最后無法收斂。

總結

以上就是這篇文章的全部內容了，希望本文的內容對大家的學習或者工作能帶來一定的幫助，如果有疑問大家可以留言交流，謝謝大家對腳本之家的支持。

參考文檔：